4. Площадь поверхности

Пусть в пространстве задана некоторая гладкая поверхность и пусть Произведем разбиение

области на частичные подобласти Это разбиение индуцирует разбиение поверхности на частичные поверхности Возьмем произвольно точку и в соответствующей точке построим плоскость касательную к поверхности Цилиндр с основанием и образующей, параллельной оси вырежит из этой плоскости кусок Обозначим через площадь куска а через диаметр разбиения

Определение 4. Если существует конечный предел и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют площадью поверхности

Теорема 3. Пусть поверхность задаётся уравнением причем функция и её частные производные непрерывны в замкнутой ограниченной области Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле

Доказательство. Вычислим площадь куска Так как то

где площадь области а угол между плоскостями и Угол очевидно, равен углу между нормалями и плоскостей и соответсвенно. Так как то

Следовательно, По определению 4 имеем

Теорема доказана.

Пример 3. Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезан-

ную цилиндром

Решение. Здесь область есть круг Площадь искомой поверхнос-

ти находим по формуле (8):

Лекция 6. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности) и его вычисление. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Поток векторного поля, его свойства и вычисление. Дивергенция, её физический смысл и свойства. Формула Остроградского-Гаусса

1.Поверхностный интеграл

Пусть в пространстве переменных и задана некоторая поверхность и пусть функция определена на этой поверхности. Произведём разбиение поверхности на частичные поверхности с помощью конечного числа непрерывных кривых. Возьмём произвольно точки и составим интегральную сумму где площадь куска . Обозначим .

Определение 1. Если существует предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначают

Теорема 1. Если поверхность задана уравнением и функции

непрерывны в замкнутой ограниченной области а функция непрерывна на поверхности то

Доказательство следует из равенства

и теоремы о среднем Подставляя это в предыдущее равенство и учитывая непрерывность всех функций, будем иметь

Теорема доказана.

Так как поверхностный интеграл сводится к двойному, то для него справедливы все свойства последнего: линейность, аддитивность, монотонность, теорема о среднем и т.д. Мы не будем их выписывать. Механический смысл поверхностного интеграла состоит в следующем: если плотность пластинки в точке то масса этой пластинки.