5.4.2. Разложение в комплексный ряд Фурье

Итак, вернемся к теме разложения в ряд Фурье. С самого начала основным принципом разложения в ряд Фурье было разложение по системе функций, свойства которых были хорошо известны заранее. Исследуем следующую систему функций:

Заметим, что:

причем отражает положение точки на единичной окружности в комплексной плоскости. Точка движется по окружности против часовой стрелки с угловой скоростью 1 рад/с. Подобно этому отражает положение точки, движущейся с угловой скоростью k рад/с. Если мы возьмем показатель степени со знаком «-», то функция будет описывать точку, которая движется с той же скоростью, что и , но в противоположном направлении (Рис. 5.12).

и - это точки, которые движутся в противоположных направлениях по единичной окружности

Рис. 5.12. Что такое и

Кроме того, поскольку

то становится понятно, что и являются сопряженными функциями.

Для того чтобы узнать, образует ли заданная система функций на отрезке [-π, π] систему ортогональных функций, необходимо вначале произвольно выбрать две функции из этой системы и вычислить их скалярное произведение.

Кстати, скалярное произведение функций f(t) и g(t), значения которых есть комплексные числа, следует определить в таком виде:

Заметим, что вполне естественно брать одну из функций сопряженной. Если этого не сделать, то теряется связь между нормой и скалярным произведением. Норма функции через скалярное произведение выражается следующим образом:

Следовательно, скалярное произведение двух произвольно выбранных функций из системы функций { , k = 0, ±1, ±2,...} выражается как

Итак,

ШПАРГАЛКА

Интеграл показательной функции

а значит, при

Если считать мнимую единицу обычной константой, то интегрирование комплексного числа не представляет трудности.

Итак, в результате мы получим, что при m≠n, <е^jmt , е^jnt >= 0.

В случае, когда m=n, е⁰= 1, поэтому

То есть

где δ_mn — рассмотренный ранее символ Кронекера.

Следовательно, система функций { , k = 0, ±1, ±2,...} на отрезке [-π, π] образует ортонормированную систему функций. А значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты C_k называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярное произведение f(t) и . То есть

Если период функции не равен 2π, а, например, равен T, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Обратите внимание на то, что коэффициенты C_k являются комплексными числами.

Какая связь между комплексным и действительным рядами Фурье? В комплексный ряд Фурье (5.10) подставим выражение комплексной экспоненты через синус и косинус по формуле Эйлера:

Если полученный результат сопоставить с выражениями (5.5) и (5.6) (формулы для действительных коэффициентов Фурье), то становится понятно, что

Из этого соотношения видно, что коэффициенты C_k являются сопряженными относительно соответствующих им коэффициентов C_-k .

(5.12)

Следовательно,

Множество абсолютных величин коэффициентов C_k ( k = 0, ±1, ±2, ...)

называют спектром амплитуд, а совокупность аргументов C_k

— спектром фаз. Множество величин |C_k |²называют спектром мощности. Спектр амплитуд показывает, как велика составляющая каждой гармоники внутри сигнала. При анализе сигнала обычно большее внимание уделяют спектру амплитуд или спектру мощности, чем спектру фаз. Кстати, заметим, что, поскольку коэффициенты C_k и C_-k взаимно сопряжены, их спектр мощности и спектр амплитуд имеют симметрию относительно k = 0. На Рис. 5.13 изображен пример различных частей спектров представления некоторого сигнала.

Комплексные коэффициенты Фурье с учетом амплитуды и фазы можно записать в следующем виде

где

А значит, используя спектр амплитуд и спектр фаз, функцию f(t) можно выразить следующим образом:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть выражения (5.15) должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты C_k и C_-k (выражение (5.12)) являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что C_k и C_-k являются сопряженными, получим

г)

а)

Спектр амплитуд

k = 0, осевая симметрия относительно оси ординат

k = 0, осевая симметрия относительно оси ординат

д)

б)

Спектр фаз

Центральная симметрия относительно точки отсчета

Центральная симметрия относительно точки отсчета

k = 0, осевая симметрия относительно оси ординат

Действительные части коэффициентов Фурье

е)

в)

Мнимые части коэффициентов Фурье

Спектр мощностей

Рис. 5.13. Спектры и комплексные коэффициенты Фурье

ПАМЯТКА

Если сигнал f(t) является четной функцией, то мнимые составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье равны 0, если же функция f(t) — нечетная, то в 0 обращаются действительные части всех коэффициентов.

(Подсказка). Действительная часть функции комплексной экспоненты е^jkt = coskt + jsinkt есть четная функция, а мнимая часть — нечетная.

Поскольку коэффициент С₀, выражающий постоянную составляющую, является действительным числом, правая часть равенства принимает действительные значения.