6.4. Разложение в комплексный ряд Фурье
Сигналы, которые представляют физические величины и в дальнейшем подвергаются обработке, имеют значения из области действительных чисел (например, сигналы, регистрирующие напряжение, температуру, звуковое давление). Поэтому, если мы заведем разговор о комплексных числах, то, на первый взгляд, это покажется странным. Однако, если использовать разложение в ряд Фурье в комплексной форме, о чем речь пойдет ниже, то формула значительно упростится, так как в ней не будет тригонометрического ряда. К тому же в случае обработки сигнала, представленного комплексными числами, мы сможем использовать его представление непосредственно, без изменений. Более того, если язык программирования позволяет использовать комплексные числа, то программу можно записать в очень простом виде. Поэтому весьма полезно освоить разложение ряда Фурье в комплексной форме.
6.4.1. Математические операции с комплексными числами
Комплексное число z выражается как
где j — мнимая единица, определяемая как
(5.6)
Наверное, читатель привык к обозначению мнимой единицы знаком i. Но дело в том, что этот знак используется для обозначения электрического тока.
Дальше будем применять следующие обозначения:
α — действительная часть комплексного числа z, β— его мнимая часть т.е.:
α = Re(z), β = lm(z).
На Рис. 5.6 показано изображение числа z на комплексной плоскости, где на оси абсцисс представлена его действительная часть, а на оси ординат — его мнимая часть. Величина |z|
называется абсолютной величиной, или модулем числа z, а
— его
аргументом.
Рис. 5.6. Комплексное представление чисел на плоскости
Комплексные
числа z
= α + jβ
и
= α
– jβ
называются сопряженными
комплексными
(Рис. 5.7).
Проверьте самостоятельно, что
Рис. 5.7. Представление сопряженных комплексных чисел
Очевидно, что
Кстати, обратите внимание на то, что значения z2 и |z2| отличны. Например, если z =j, т.е. α =0 и β = 1, то z2= -1, но |z2| = 1.
Пусть
некоторая точка расположена на единичной
окружности в комплексной плоскости
так, что прямая, соединяющая ее с началом
координат, образует с действительной
осью угол
,
как показано на Рис. 5.8. Координаты этой
точки можно выразить как
Известно, что
(5.7)
Эта формула называется формулой Эйлера, а e является основанием натурального логарифма и определяется следующим образом:
Формула
Эйлера
Рис. 5.8. Графическая иллюстрация формулы Эйлера
На первый взгляд связь между е и тригонометрическими функциями в формуле Эйлера кажется странной. Однако, опуская подробности, разложим в ряд Тейлора каждую из функций cos и sin :
Аналогичным
образом представим
:
что и доказывает верность формулы Эйлера.
По определению, абсолютная величина для
а аргумент
Из этого следует, что произвольное комплексное число z (Рис. 5.9.) можно представить в виде:
-
это
,
увеличенная в
раз, поэтому
Рис. 5.9. Выражение произвольного комплексного числа через модуль и аргумент
ПАМЯТКА
Исходя из формулы Эйлера, тригонометрические функции можно выразить следующим образом:
Подумайте, почему?
Если использовать такой способ представления, то легко выразить произведение комплексных чисел (Рис. 5.10):
Умножение
комплексных чисел
Абсолютная
величина – это произведение
,
аргумент –
это
сумма
Рис. 5.10. Умножение двух комплексных чисел
Аналогичным образом представим частное от деления двух комплексных чисел (Рис. 5. 11):
Деление
комплексных чисел
Абсолютная
величина – это
,
аргумент –
это
разность
Рис. 5.11. Деление двух комплексных чисел
В отличие от операций с комплексными числами вычисление произведения или частного от деления тригонометрических рядов было бы очень обременительным.