Задача №3
Построить факторгруппу группы (mZ, +) по подгруппе (nZ, +), где m и n –натуральные числа, причем m делит n, задав индуцированную операцию таблицей Кэли. Является ли факторгруппа абелевой и циклической (обосновать)? Найти все образующие элементы факторгруппы как циклической группы. Зна-чения m и n даны в табл. 14 в соответствии с вариантом.
Таблица 14
Исходные данные к задаче №3
№ варианта |
m |
n |
№ варианта |
m |
n |
1 |
7 |
21 |
11 |
6 |
54 |
2 |
2 |
10 |
12 |
7 |
49 |
3 |
3 |
12 |
13 |
3 |
18 |
4 |
5 |
25 |
14 |
8 |
64 |
5 |
8 |
48 |
15 |
4 |
36 |
6 |
6 |
36 |
16 |
13 |
78 |
7 |
4 |
28 |
17 |
9 |
81 |
8 |
11 |
66 |
18 |
12 |
84 |
9 |
2 |
18 |
19 |
14 |
70 |
10 |
5 |
40 |
20 |
11 |
99 |
Задача №4
Пусть |< a >| = m, |< b >| = n – заданные порядки двух циклических групп. Построить все гомоморфизмы групп f : < a > < b >. Описать ядро и образ каждого гомоморфизма. Указать все мономорфизмы, эпиморфизмы и изоморфизмы, если они существуют. Значения m и n даны в табл. 15 в соответствии с вариантом.
Таблица 15
Исходные данные к задаче №4
№ варианта |
m |
n |
№ варианта |
m |
n |
1 |
13 |
26 |
11 |
16 |
54 |
2 |
20 |
14 |
12 |
70 |
49 |
3 |
6 |
24 |
13 |
32 |
10 |
Окончание табл. 15
4 |
25 |
15 |
14 |
28 |
12 |
5 |
35 |
49 |
15 |
49 |
35 |
6 |
12 |
28 |
16 |
18 |
24 |
7 |
4 |
28 |
17 |
56 |
7 |
8 |
7 |
56 |
18 |
14 |
20 |
9 |
24 |
18 |
19 |
78 |
13 |
10 |
11 |
77 |
20 |
36 |
4 |
Задача №5
Алгоритм RSA. Задан открытый ключ (n, e) и зашифрованное сообщение – число m. Найти секретный ключ d и дешифровать сообщение – найти число c (1 c n – 1). Значения n, e и m даны в табл. 16 в соответствии с вариантом.
Таблица 16
Исходные данные к задаче №5
№ варианта |
n |
e |
m |
№ варианта |
n |
e |
m |
1 |
1081 |
7 |
18 |
11 |
3977 |
19 |
22 |
2 |
1537 |
9 |
12 |
12 |
4429 |
25 |
10 |
3 |
1829 |
13 |
25 |
13 |
3431 |
13 |
11 |
4 |
2257 |
17 |
11 |
14 |
4187 |
35 |
40 |
5 |
2747 |
7 |
13 |
15 |
4897 |
45 |
15 |
6 |
2369 |
19 |
28 |
16 |
5429 |
49 |
18 |
7 |
3103 |
15 |
9 |
17 |
6499 |
65 |
12 |
8 |
2573 |
23 |
14 |
18 |
6319 |
81 |
16 |
9 |
3053 |
11 |
15 |
19 |
8453 |
55 |
6 |
10 |
3293 |
7 |
17 |
20 |
5141 |
77 |
24 |