Практическая часть Задача №1
Какую алгебраическую систему (группоид, полугруппу, моноид, группу) образует множество G относительно заданной операции? Является ли данная алгебраическая система абелевой? Множества и операции указаны ниже в соответствии с вариантами.
1 вариант: множество степеней фиксированного действительного числа а, а 0, 1, с целыми показателями относительно операции умножения вещественных чисел.
2 вариант: множество нечетных целых чисел относительно операции умножения целых чисел.
3 вариант: множество положительных рациональных чисел относительно операции деления рациональных чисел.
4 вариант: множество всех рациональных чисел, знаменатели которых равны произведениям чисел из множества M = {3, 5, 7}, относительно операции сложения рациональных чисел.
5 вариант: множество корней всех натуральных степеней из единицы относительно операции умножения комплексных чисел.
6 вариант: множество квадратных матриц фиксированного порядка n N с целочисленными элементами относительно операции умножения матриц.
7 вариант: множество квадратных матриц фиксированного порядка n N с целочисленными элементами и определителями, отличными от нуля, относительно операции умножения матриц.
8 вариант: множество всех биективных преобразований фиксированного непустого множества V относительно операции композиции функций.
9 вариант: множество квадратных матриц фиксированного порядка n N с целочисленными элементами и определителями, равными 1, относительно операции умножения матриц.
10 вариант: множество параллельных переносов трехмерного пространства R3 относительно операции композиции функций.
11 вариант: множество поворотов трехмерного пространства R3 вокруг фиксированной точки O относительно операции композиции функций.
12 вариант: множество всех биективных преобразований множества N, каждое из которых перемещает лишь конечное множество чисел, относительно операции композиции функций.
13 вариант: множество положительных вещественных чисел относительно операции , где a b = ab.
14 вариант: множество всех действительных многочленов от одной переменной степеней, не превосходящих фиксированного n Z0, относительно операции сложения многочленов.
15 вариант: множество всех действительных многочленов от одной переменной фиксированной степени n Z0 относительно операции сложения многочленов.
16 вариант: булеан фиксированного непустого множества V относительно операции объединения множеств.
17 вариант: булеан фиксированного непустого множества V относительно операции разности множеств.
18 вариант: булеан фиксированного непустого множества V относительно операции симметрической разности множеств (A B = A \ B B \ A).
19 вариант: множество отличных от нуля вещественных чисел относительно операции деления.
20 вариант: множество положительных вещественных чисел относительно операции , где a b = a b2 и символ «» обозначает умножение вещественных чисел.
Задача №2
Разложить подстановку f S8 в произведение независимых циклов и транс-позиций. Определить для f характер четности и порядок в группе S8. Построить циклическую подгруппу < f >. Является ли < f > нормальной подгруппой в S8? Подстановки f даны в табл. 13 в соответствии с вариантами.
Таблица 13
Исходные данные к задаче №2
№ варианта |
f |
№ варианта |
f |
1 |
|
11 |
|
2 |
|
12 |
|
3 |
|
13 |
|
4 |
|
14 |
|
5 |
|
15 |
|
6 |
|
16 |
|
Окончание табл. 13
7 |
|
17 |
|
8 |
|
18 |
|
9 |
|
19 |
|
10 |
|
20 |
|
