Контрольная работа №2 Указания по выбору варианта
Контрольная работа №2 является контрольной работой по главам «Элементы теории групп» и «Введение в теорию колец и полей». Контрольная работа состоит из теоретической и практической частей и содержит 20 вариантов. Студент должен обстоятельно ответить на 2 вопроса из теоретической части (40 вопросов) в соответствии со своим вариантом (табл. 11). Практическая часть состоит из 9 задач и содержит 20 типовых вариантов (табл. 13–19 для задач №№2–5, 7–9). Выбор номера варианта вопросов и задач осуществляется преподавателем и указывается в сводной таблице вариантов для студентов группы.
Таблица 11
Варианты теоретических вопросов
№ варианта |
№№ теоретич. вопросов |
1 |
19, 22 |
2 |
17, 24 |
3 |
15, 26 |
4 |
13, 28 |
5 |
11, 30 |
6 |
9, 32 |
7 |
7, 34 |
8 |
5, 36 |
9 |
3, 38 |
10 |
1, 40 |
11 |
18, 21 |
12 |
16, 23 |
13 |
14, 25 |
14 |
12, 27 |
15 |
10, 29 |
16 |
8, 31 |
17 |
6, 33 |
18 |
4, 35 |
19 |
2, 37 |
20 |
20, 39 |
Теоретическая часть (вопросы)
1. Бинарная алгебраическая операция. Понятия алгебраической системы, группоида, полугруппы, моноида, группы. Примеры.
2. Определение группы. Абелевы группы. Аддитивные и мультипликативные, конечные и бесконечные группы. Примеры.
3. Подгруппа группы. Критерий подгруппы. Примеры.
4. Циклическая подгруппа, группа, образующий элемент. Порядок элемента группы. Циклическая подгруппа, порожденная элементом конечного порядка. Теорема о подгруппе циклической группы. Примеры.
5. Левый и правый смежные классы группы по подгруппе. Теорема о разбиении группы на левые (правые) смежные классы по подгруппе. Примеры.
6. Индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Примеры.
7. Нормальная подгруппа. Критерий нормальности подгруппы. Примеры.
8. Подстановка n-элементного множества. Произведение подстановок и обратная подстановка. Группа Sn и теорема о ее порядке. Примеры.
9. Понятие цикла в группе Sn. Теорема о разложении подстановки в произведение независимых циклов. Следствие о порядке подстановки в Sn. Примеры.
10. Транспозиция в Sn. Теорема о разложении подстановки в произведение транспозиций. Четная и нечетная подстановки. Теорема о группе Аn и следствие из нее. Примеры.
11. Фактормножество группы по нормальной подгруппе. Теорема о факторгруппе. Определение факторгруппы.
12. Свойства факторгрупп. Примеры.
13. Понятие гомоморфизма групп. Полный образ и ядро гомоморфизма. Свойства 1 (о композиции) и 2 (о действии на нейтральный и обратный элементы, о полном образе) гомоморфизмов групп.
14. Мономорфизм групп. Свойства 3 (о ядре) и 4 (критерий мономорфизма) гомоморфизмов групп. Эпиморфизм групп. Первая теорема о гомоморфизмах групп. Канонический гомоморфизм.
15. Изоморфизм и его значение в теории групп. Вторая теорема о гомоморфизмах групп. Изоморфизмы циклических групп.
16. Теорема Кэли. Теорема о мономорфизме из Sn в GLn(Q).
17. Эндоморфизм и автоморфизм группы. Группа автоморфизмов. Теорема об автоморфизмах конечной абелевой группы.
18. Понятия криптографической защиты, имитозащиты, криптографиче-ского алгоритма и протокола, криптографической системы, криптопакета, секретности. Криптосистема RSA и ее стойкость.
19. Понятия симметричных и асимметричных шифров и криптосистем, криптографии с секретным и открытым ключом. Понятие электронной цифровой подписи (ЭЦП) и основные группы алгоритмов для ее создания. Система ЭЦП на основе алгоритма RSA и ее применение. Примеры.
20. Определение кольца. Виды и свойства колец. Делители нуля в кольце. Примеры.
21. Мультипликативная группа кольца. Алгебра с делением (тело) и поле. Примеры и свойства полей.
22. Подкольцо и подполе. Левый, правый, двусторонний идеалы кольца. Примеры.
23. Главный левый, правый, двусторонний идеалы кольца. Кольцо главных идеалов. Теорема об идеалах кольца целых чисел. Максимальный идеал. Критерий максимальности идеала кольца целых чисел.
24. Кольцо полиномов от одной переменной над полем и его свойства. Теорема о делении с остатком в P[x]. Примеры.
25. Делимость полиномов в P[x]. Свойства делимости полиномов. Тривиальные делители полиномов. Мультипликативная группа кольца P[x].
26. Общий делитель (ОД) и наибольший общий делитель (НОД) полиномов в P[x]. Нахождение НОД полиномов из теоремы о делении с остатком. Аналог алгоритма Евклида для нахождения НОД полиномов. Рекурсивное вычисление НОД полиномов.
27. Соотношение Безу для НОД полиномов в P[x]. Взаимно простые полиномы. Критерий взаимной простоты и свойства взаимно простых полиномов. Общее кратное (ОК) и наименьшее общее кратное (НОК) полиномов в P[x]. Вычисление НОК полиномов.
28. Неприводимость и приводимость полинома над полем. Теорема о разложении на множители в кольце P[x] и каноническое разложение полинома. Бесконечность множества неприводимых над полем полиномов.
29. Теорема об идеалах кольца P[x]. Критерий максимальности идеала в P[x]. Зависимость структуры неприводимых полиномов в P[x] от свойств поля P. Аналог «решета» Эратосфена для проверки на неприводимость полиномов над полем.
30. Корень полинома и его кратность. Алгебраически замкнутое поле. Теорема Безу и следствия из нее. Теорема о числе корней полинома. Схема Горнера. Формулировка основной теоремы алгебры. Следствие о приводимости и каноническом разложении над C полиномов из C[x].
31. Следствие из основной теоремы алгебры о приводимости над R полиномов из R[x]. Приводимость над Q и корни в Q полиномов из Q[x]. Признак Эйзенштейна неприводимости над Q полиномов из Z[x].
32. Сравнимость и классы вычетов по модулю двустороннего идеала кольца. Фактормножество кольца по двустороннему идеалу. Теорема о факторкольце. Определение факторкольца. Примеры.
33. Критерий поля для факторкольца ассоциативного и коммутативного кольца с единицей по собственному идеалу. Следствия: критерии поля для факторколец Z/nZ и P[x]/(f(x)). Примеры.
34. Понятие гомоморфизма колец. Мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм колец. Эндоморфизм и автоморфизм кольца. Ядро и полный образ гомоморфизма колец. Свойства 1 (о композиции), 2 (о полном образе), 3 (о действии на нуль и противоположный элемент) и 4 (о действии на единицу и обратный элемент) гомоморфизмов колец. Примеры.
35. Свойства 5 (о ядре) и 6 (критерий мономорфизма) гомоморфизмов колец. Гомоморфизмы полей. Первая теорема о гомоморфизмах колец. Канонический гомоморфизм.
36. Вторая теорема о гомоморфизмах колец. Примеры.
37. Теорема существования корня полинома из P[x] и следствия из нее. Примеры.
38. Теорема о взаимно однозначном соответствии между идеалами колец при эпиморфизме и следствие из нее.
39. Характеристика кольца. Теорема о значении ненулевой характеристики. Формула бинома Ньютона в кольцах ненулевой характеристики. Примеры.
40. Минимальное поле. Теорема о минимальных полях нулевой и ненулевой характеристик.