Задание: По заданным таблицам - выборкам рассчитать доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для 1%, 5%, 10%.

Задача №1 Вариант 5

Большая выборка

1. Начальная отсортированная выборка из первой лабораторной работы

5,6	36,2	47,1	53,6	60,9	70,5	74,9	80,6	88,4	96,8
17,5	37,9	47,9	54,5	61,3	71,2	75,6	81,6	88,7	98,2
19,5	39,4	50,4	55,3	62,4	71,4	76	83,1	88,9	104,9
21,1	42,1	50,8	55,6	65,6	71,6	76,1	83,8	90,3	106,8
23,9	44,8	51,5	56,2	66,7	72,1	76,7	85,4	92,5	107,9
31,7	44,9	51,7	57	67	72,2	79,1	87,5	92,6	109,6
31,8	46,4	52,6	57,2	68,2	73	79,7	88,2	93,2	111,5
33	46,8	52,9	58,9	69,1	73,3	80,5	88,3	95,4	119,6

2. Оценки характеристик, рассчитанные во второй работе и прочие характеристики

х = 66,93375 - среднее арифметическое

S_x² = 580,79644 - оценка дисперсии

S_x = 24,17608939 - оценка СКО

N = 80 - объем выборки

a = 1 - P₀ = 1%, 5%, 10%. - уровни значимости, где Р₀ - доверительная вероятность.

3. Нахождение доверительного интервала для мат. ожидания (большая выборка)

3.0 Наглядный график

3.1 Основная формула поиска доверительной вероятности

P{x-U_a/2* S_x /√N < m_x< x+U_a/2* S_x /√N } = P₀ где U ~ N(0,1)

3.2 Значения U_a/2 для разных доверительных вероятностей

U₁ = 2.58 - для Р₀ = 0.99%

U₂ = 1.96 - для Р₀ = 0.95%

U₃ = 1,64 - для Р₀ = 0.90%

3.3 Поиск значений доверительных интервалов для каждого уровня значимости.

3.3.1 Для уровня значимости - a = 1%

x-U_a/2* S_x /√N = 66.934 - 2.58*24.176/√80 = 66.934 - 6.974 = 59.960

x+U_a/2* S_x /√N = 66.934 + 2.58*24.176/√80 = 66.934 + 6.974 = 73.908

Т.о. 59.960 < m_x < 73.908 - C вероятностью 99% мат.ожидание будет находиться в данном диапазоне.

3.3.2 Для уровня значимости - a = 5%

x-U_a/2* S_x /√N = 66.934 - 1.96*24.176/√80 = 66.934 - 5.298 = 61.636

x+U_a/2* S_x /√N = 66.934 + 1.96*24.176/√80 = 66.934 + 5.298 = 72,232

Т.о. 61.636 < m_x < 72,232 - C вероятностью 95% мат.ожидание будет находиться в данном

диапазоне.

3.3.3 Для уровня значимости - a = 10%

x-U_a/2* S_x /√N = 66.934 - 1,64*24.176/√80 = 66.934 - 4,433 = 62,501

x+U_a/2* S_x /√N = 66.934 + 1,64*24.176/√80 = 66.934 + 4,433 = 71,367

Т.о. 62,501< m_x < 71,367 - C вероятностью 90% мат.ожидание будет находиться в данном

диапазоне.

4. Нахождение доверительного интервала для дисперсии (большая выборка)

4.0 Используем тот же график, что и для нахождения доверительного интервала для мат. ожидания.

4.1 Основная формула для нахождения доверительного интервала

P{ S_x² - U_a/2*K < D_x < S_x² + U_a/2*K } = P₀ , где K = √(2/(N-1))* S_x²

4.2 Значения Ua/2 для разных доверительных вероятностей

U₁ = 2.58 - для Р₀ = 0.99%

U₂ = 1.96 - для Р₀ = 0.95%

U₃ = 1,64 - для Р₀ = 0.90%

4.3 Поиск значений доверительных интервалов для каждого уровня значимости.

4.3.1 Для уровня значимости - a = 1%

S_x²- U_a/2*K = 580,796 - 2.58*√(2/79)*580,796 = 580,796 - 238,421= 342,375

S_x²+ U_a/2*K = 580,796 + 2.58*√(2/79)*580,796 = 580,796 +238,421 = 819,217

Т.о. 342,375 < D_x < 819,217- C вероятностью 99% дисперсия будет находиться в данном

диапазоне.

4.3.2 Для уровня значимости - a = 5%

S_x²- U_a/2*K = 580,796 - 1.96*√(2/79)*580,796 = 580,796 - 181,126 = 399,67

S_x²+U_a/2*K = 580,796 + 1.96*√(2/79)*580,796 = 580,796 + 181,126 = 761,922

Т.о. 399,67 < D_x < 761,922- C вероятностью 95% дисперсия будет находиться в данном

диапазоне.

4.3.3 Для уровня значимости - a = 10%

S_x²- U_a/2*K = 580,796 - 1,64 *√(2/79)*580,796 = 580,796 - 151,554 = 429,242

S_x²+ U_a/2*K = 580,796 + 1,64 *√(2/79)*580,796 = 580,796 + 22,114 = 732,35

Т.о. 429,242 < D_x < 732,35 - C вероятностью 90% дисперсия будет находиться в данном

диапазоне.

Малая выборка

1. В качестве малой выборки используем шестую строку из начальной выборки

31,7

44,9

51,7

57

67

72,2

79,1

87,5

92,6

109,6

2. Оценки характеристик, рассчитанные во второй работе и прочие характеристики

х =69,33 - среднее арифметическое

S_x² = 1/f*∑(x_i-х)² = 564,2357 - оценка дисперсии

S_x = 23,75 - оценка СКО

N = 10 - объем выборки

f = N-1 = 9 - степени свободы

a = 1 - P₀ = 1%, 5%, 10%. - уровни значимости, где Р₀ - доверительная вероятность.

3. Нахождение доверительного интервала для мат. ожидания (малая выборка)

3.0 Наглядный график

3.1 Основная формула поиска доверительной вероятности

P{x-t_a/2* S_x /√N < m_x< x+t_a/2* S_x /√N } = P₀ где t - критические точки распределения Стьюдента

3.2 Значения t_a/2 для разных доверительных вероятностей

t₁ = 3,2498 - для Р₀ = 0.99%

t₂ = 2,2622 - для Р₀ = 0.95%

t₃ = 1,8331 - для Р₀ = 0.90%

3.3 Поиск значений доверительных интервалов для каждого уровня значимости.

3.3.1 Для уровня значимости - a = 1%

x-t_a/2* S_x /√N = 69,33- 3,2498*23,75/√10 = 69,33- 24,41= 44,04

x+t_a/2* S_x /√N = 69,33+ 3,2498*23,75/√10 = 69,33+ 24,41= 94,52

Т.о. 44,04 < m_x < 94,52 - C вероятностью 99% мат. ожидание будет находиться в данном

диапазоне.

3.3.2 Для уровня значимости - a = 5%

x-t_a/2* S_x /√N = 69,33- 2,2622*23,75/√10 = 69,33- 16,99 = 52,34

x+t_a/2* S_x /√N = 69,33+ 2,2622*23,75/√10 = 69,33+ 16,99 = 86,32

Т.о. 52,34 < m_x < 86,32 - C вероятностью 95% мат. ожидание будет находиться в данном

диапазоне.

3.3.3 Для уровня значимости - a = 10%

x-t_a/2* S_x /√N = 69,33- 1,8331*23,75/√10 = 69,33- 13,77 = 55,56

x+t_a/2* S_x /√N = 69,33+ 1,8331*23,75/√10 = 69,33+ 13,77 = 83,1

Т.о 55,56 < m_x < 83,1 - C вероятностью 90% мат. ожидание будет находиться в данном

диапазоне.

4. Нахождение доверительного интервала для дисперсии (малая выборка)