Случайная величина. Распределение вероятностей

Сначала будет вполне достаточно описательного варианта нового понятия случайной величины. Она появляется в результате случайного опыта и отражает количественную характеристику последнего неким набором значений (чисел), очевидно, зависящим от природы случайной величины и вероятностного закона, управляющего появлением этого или близкого к нему набора. Закон же этот выясняется путем систематизации как можно большего числа результатов испытаний при повторении случайного опыта. (Представьте себе тренировки в течение дня прыгуна в длину, когда в конце дня они с тренером наносят точки на график, эти точки распределены очень густо вокруг какого-то среднего значения, оно близко к математическому ожиданию. Представьте теперь, что сначала точки располагались довольно кучно, но к концу дня их рассеяние заметно увеличилось, возможно, из-за усталости спортсмена, при этом несколько сместился и центр рассеяния.)

Определение. Последовательность, составленная из вероятностей всех возможных случайных событий данного случайного опыта: р₁(А₁), р₂(А₂₎, ... , р_n(A_n) называется их распределением вероятностей.

Так, выпадение чисел на оцифрованной 6-гранной кости это последовательность случайных событий, которые есть значения дискретной случайной величины от 1 до 6. При прыжках же спортсмена в длину случайная величина по природе своей непрерывная, но нами она принимается условно как непрерывная, лимитируемая ценой деления линейки, т.е. 1 см.

Саму случайную величину принято обозначать большими буквами Х, Y и т. д., или Х₁, Х₂, Х₃^, если случайных величин много, обычно более трех_. Конкретные же численные значения, которые принимает случайная величина, обозначают малыми буквами: х, у, и т. д., или х₁, х₂, … .

Замечание. Термин «закон распределения случайной величины» или просто «закон распределения» может оказаться нестрогим. Так сложилось, что в математике под ним всегда имеют в виду интегральную функцию распределения (см. ниже), но в физике, химии, биологии, говоря о законе распределения нередко имеют в виду распределение вероятностей в точках х_i, т.е. плотность вероятности или, выражаясь корректнее, плотность в бесконечно малой окрестности данной точки (полная аналогия с массой и ее плотностью в данной точке).

Результаты случайного эксперимента записывают в виде статистического ряда, состоящего из двух последовательностей: значений случайной величины Х и вероятностей (а на практике относительных частот) всех возможных ее значений: р(х₁), р(х₂), ..., р(х_n) .

(Терминологическое замечание: в математическом анализе ряд это сумма членов последовательности. Между тем в теории вероятностей укоренился другой смысл: статистический ряд это сами последовательности, а не их суммы.)

Таблица 3.2.

Общий вид статистического ряда значении дискретной случайной величины и вероятностей ее появления

Х=хi	х1 х2.... хn
Р=р(хi)	р1 р2 ….. рn

Вернемся к примеру со стрелком. Вычислим по формуле Бернулли вероятности всех результатов, которые могут произойти в серии из 10 выстрелов. Эти результаты – сложные случайные события, Р₁₀(m), состоящие из m успехов и n–m промахов, где m = 0,1,2,...,10. Статистический ряд вероятностей всех возможных сложных случайных событий для этого опыта будет выглядеть так:

Таблица 3.3.