Глава 3. Формула Бернулли. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Схема испытаний Бернулли

Последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли называют серию случайных экспериментов, при повторении которых сохраняется комплекс контролируемых условий опыта k в сумме K = k + k*. Это условие приводит к тому, что вероятность элементарного «успеха» (и «неуспеха») одинакова при каждом испытании во всей серии опытов. Данную схему ввел в теорию вероятностей швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705). (Заметим, что когда вскоре будут введены два наиважнейших понятия: математическое ожидание и дисперсия случайной величины, то первое из них определяется комплексом контролируемых условий опыта k , позволяющих состояться опыту как таковому, а второе – комплексом неконтролируемых условий k*, характеризующим рассеяние случайной величины вокруг некоего «центра».)

Пример 1. При фиксированных условиях k опыта стрелок поражает мишень с вероятностью p = 0,9 и, соответственно, вероятностью промаха q = 1-p. Элементарные события – один успех или промах. Соответствующие им элементарные вероятности: p и q. В серии из n = 10 контролируемые условия k не изменяются: тип оружия и мишени, расстояние между ними, позиция стрелка и т.п. Найти вероятность неэлементарного (составного) события, состоящего в том, что при 10 выстрелах стрелок попал в мишень m раз. Пусть, для примера m = 2 и соответственно число промахов 10 – m = 8.

Для решения поставленной задачи необходима формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятности m успехов при n–m промахах:

(3.1)

Эту формулу можно понять и без строгого её вывода. Для этого нужно только знать теоремы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности (см. Главу 2), а также элементы комбинаторики (что такое сочетания из n элементов по m и чему равно их число ).

В данном примере найдем сначала вероятность двух попаданий подряд, допустим, при 1-м и 2-м выстрелах. Это два независимых события с равными элементарными вероятностями р=0,9 и потому вероятность составного события в два успеха равна р×р=р²=0,9×0,9=0,81. Но нас интересует не это событие, состоящее из всего двух элементарных событий, а значительно более сложное, характеризующее вероятность двух успехов в серии из 10 выстрелов, неважно в каком порядке, и 8 промахов. Очевидно, что для этого требуется перемножить элементарные вероятности всех этих успехов и неуспехов, т.е. вычислить: р²× q⁸ = 0,81× (0,1)⁸. Причем в поставленной задаче последовательность успехов и промахов не имеет значения, потому что испытания проходят по схеме Бернулли, где р – постоянная величина. Понятно, что любое сложное событие, состоящее из 2-х успехов и 8-ми неуспехов в любой последовательности, будет иметь одинаковую вероятность, только что вычисленную. При этом каждое из таких событий попарно несовместно с любым другим подобным событием, имеющим 2 успеха и 8 промахов в одной единственной серии из 10 выстрелов. Следовательно, вероятности всех этих потенциальных серий «2 успеха плюс 8 промахов», из которой реализовалась, разумеется, лишь какая-то одна, надо складывать. Сколько же всего таких составных событий «2 + 8» может в принципе реализоваться в разных сериях из 10 выстрелов? – Столько, сколько сочетаний можно составить из 10 элементов по 2. (Напомним, что различные сочетания из n по m элементов, , это такие комбинации m элементов, которые включают в себя хотя бы один новый элемент из n.) Итак, полученную вероятность надо умножить на число сочетаний .

Ясно, что если мы перебрали все возможные комбинации из двух успехов и восьми промахов, то все эти комбинации составляют полную группу сложных событий. И потому формула Бернулли есть формула полной вероятности данного сложного события, состоящего из 2 успехов и 8 промахов:

_.

Как видим, вероятность того, что хороший стрелок (р=0,9) попадет всего 2 раза из 10, конечно, крайне мала.

Коэффициенты вычисляют по формуле:

= = (3.2)

Можно использовать способ нахождения с помощью треугольника Паскаля, который легко построить самостоятельно.

Таблица 3.1

Треугольник Паскаля

Редактору: сделать, пожалуйста треугольник слева, как в книжке

1..............................

1 1...........................

1 2 1........................

1 3 3 1.....................

1 4 6 4 1.................. =....

1 5 10 10 5 1........... =...

1 6 15 20 15 6 1…... =...

^{……………………………………………………..}

Алгоритм составления треугольника Паскаля самоочевиден из его структуры. Напомним, что эти же числа используются в биноме Ньютона и потому они называются биномиальными коэффициентами. Справа от треугольника даны примеры «раскрытия» бинома Ньютона при разных степенях n по общей формуле:

(3.4)

Из симметричности треугольника видно, что = . Это – важнейшее свойство биномиальных коэффициентов.