6. Помещаем выбранную вершину x_s в кусок G₁: G₁={x_,x_s}. Подсчитываем число m вершин в куске G₁.

7. Если m=n₁, то первый кусок сформирован. Переход к п.9.

8. Если m<n₁, то в список Г(х_) добавляем вершины, смежные вершинам, вошедшим в кусок G₁. Переход к п.4.

9. Удаляем из матрицы А строки и столбцы, соответствующие номерам вершин, вошедших в кусок G₁. Для формирования следующего куска G₂ с новой запрещенной вершиной из Q процедура повторяется с п.2. Если число сформированных кусков равно (-1), то переход к п.10.

10. Конец работы алгоритма.

Задания для курсовой работы

Задание 5

Итерационный алгоритм разбиения графа G(X,E) на  кусков

G_1,,…,G_ с числом вершин n₁,…,n_ в каждом куске

соответственно с использованием чисел связности.

Замечание. Разбиение графа G(X,E) на  кусков сведем к последовательному разрезанию графа на два куска G_k и c числом вершин в первом куске равным n_k (k= . Это эквивалентно разбиению матрицы смежности на две подматрицы А⁽¹⁾ и А⁽²⁾. Основная идея алгоритма заключается в выборе таких строк и столбцов, перестановка которых из одного куска в другой приводит к сосредоточению в диагональных клетках матрицы максимального числа элементов.

Введем вспомогательную матрицу где строки определяются вершинами x_i из G_k, а столбцы – вершинами x_j из ; , где _{i ,}_j-числа связности.

В общем виде для разбиения матрицы смежности на две подматрицы а1 и а2, число связности имеет вид

где x_k – множество вершин подграфа G_k,

p P={1,2,…n_k}, vV={n_k+1, n_k+2,…n}, k= .

Алгоритм.

1. Для графа G=(X,A) строим матрицу смежности А⁰ порядка n.

2. В матрице А⁰ графа G выделяем подматрицу А¹ порядка n₁, равного числу элементов в первом выделяемом подграфе G₁. Матрица А⁰ при этом разбивается на две подматрицы А¹ и А² ( ).

3. По матрице А⁰ находим числа связности _s.

4. Строим матрицу W¹.

5. Используя вспомогательную матрицу W¹, определяем максимальный положительный элемент w_q. Если таких элементов несколько, то выбираем такой, для которого соответствующие вершины x_q и х_ имеют меньшую локальную степень

6. Переставляем q и  строки и столбцы в матрице А^0. Получаем матрицу , изоморфную матрице А⁰. Если в матрице W¹ нет положительных элементов, то есть кусок G₁ сформирован, то переход к п.8, иначе переход к п.7.

7. Выполняем для матрицы последовательно п.п.2-5 алгоритма.

8. Исключаем из графа G кусок G₁, это эквивалентно исключению n₁ строк и столбцов из матрицы А⁰ соответствующих вершинам графа G, вошедшим в первый кусок.

9. Повторяем п.п.1-8 алгоритма до тех пор, пока не останется подграф G_l.

10. Получаем разбиение графа G на  кусков G₁, G₂,… G_ с числом вершин в каждом куске соответственно n_1,n₂,…,n_.

11. Конец работы алгоритма.

Задания для курсовой работы

Задание 6

Итерационный алгоритм разрезания графа G (X,U)

на  кусков с минимизацией числа соединительных ребер

(матричный метод разбиения).

Замечание. Идея алгоритма заключается в первоначальном случайном разбиении графа G(X,U) на  кусков G₁,G₂,…G_ с числом вершин n₁,n₂,…n_ в каждом куске соответственно и последующей перестановкой пары или группы вершин из одного куска в другой для уменьшения числа соединительных ребер между кусками. Таким образом, требуется получить максимальное значение функции

где L – общее число ребер внутри всех кусков графа G;

u_j – ребро графа G; U_jj – множество внутренних ребер куска G_j, |U_jj|=z.

Задается стандартная матрица F=||f_ij|| _nn, в которой по главной диагонали расположено  единичных подматриц. Порядок каждой подматрицы определяется числами вершин n₁, n₂,… n_.

Алгоритм.

1. Для графа G(X,U) строим матрицу смежности R=||r_ij|| _nn.

2. Разбиваем матрицу смежности по главной диагонали на подматрицы R₁, R₂,… R_ с числом вершин в каждой n₁, n₂,… n_ соответственно. Переход к п.3.

3. Вычисляем вспомогательную матрицу М=||m_ij||_nn, которую определяем как результат умножения матриц F и R:

В общем случае m_ijm_ji, т.е. матрица М не является симметричной.

4. Вычисляем вспомогательную матрицу В=||b_ij|| _nn, которая строится путем поэлементного перемножения матриц и R, где – инверсия матрицы F, т.е. единица заменяется на ноль и наоборот:

.

5. Вычисляем вспомогательную матрицу Р=||p_ij||_nn, Р=М-В следующим образом

P_ij = m_ij - b_ij; P_ji = m_ji -b_ji; P_ij  P_ji.

6. Вычисляем перестановочные коэффициенты _ij = P_ij + P_ji - P_ii – P_jj.