3.9. Кривая Гомперца и логистическая кривая

В некоторых расчетах нашла себе применение S-образная кривая, получившая название кривой Гомперца. Функция имеет вид:

у_t = Kab^t

На рис. 3.5 представлены четыре варианта этой функции:

Error: Reference source not found

a) б)

Error: Reference source not found

в) г)

Рис. 3.5. Кривая Гомперца

Наибольший интерес представляет кривая Гомперца, у которой ℓog a <0, b < 1 (вариант а на рис. 3.5). Рассматривая кривую Гомперца, можно выделить четыре этапа в развитии уровня, границы между которыми более или менее условны. Если коэффициент b меньше единицы (при отрицательном ℓog a) , то обнаруживается, что на первом этапе прирост незначителен. Причем, он медленно увеличивается по мере роста t, на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, затем после перегиба приросты начинают уменьшаться. Вблизи от линии асимптоты приросты опять незначительны.

Если в модифицированной экспоненте у_t = K + ab^t вместо y_t ввести обратную величину, т.е. 1/y_t, то получим вторую S―образную кривую ― логистическую кривую (рис. 3.6).

,

которую иногда называют кривой Перла-Рида.

Error: Reference source not found

Рис. 3.6. Логистическая кривая Перла-Рида

Логистическую кривую чаще записывают в следующем виде:

,

где е ― основание натуральных логарифмов;

f(t) ― некоторая функция от t ( обычно f(t) = - at),

тогда .

Если b = 1, а вместо натуральных логарифмов взять за основание десятичных логарифмов и принять, что f(t) =а + bt), то получим логистическую кривую:

.

Логистическая кривая схожа с кривой Гомперца. Обе кривые характеризуют рост с изменяющимся отношением прироста к ординате. Отличие заключается в том, что у кривой Гомперца постоянны отношения первых разностей логарифмов, а у логистической неизменны отношения первых разностей обратных их значений.

Экспоненциальные кривые хорошо описывают процессы, имеющие "лавинообразный" характер, т.е. когда прирост зависит, в основном, от достигнутого уровня, при этом различного рода ограничения, факторы практически не берутся во внимание.

В сущности, S-образные кривые описывают два последовательных лавинообразных процесса: один с ускорением развития, другой ― с замедлением.

Модифицированная экспонента, кривая Гомперца и логистическая кривая при определенных значениях своих параметров имеют асимптоты, проходящие выше этих кривых, поэтому эти кривые пригодны для описания различного вида экономических и иных процессов. Например, S-образные кривые находят применение в оценке количественных показателей спроса, выпуска продукции, доходности и т.д.

3.10. Закон трех ключевых факторов

Проведенные эконометрические расчеты дают основание утверждать, что в условиях формирования более интенсивного продовольственного рынка за счет стабилизации цен, улучшения качественных характеристик товара можно достичь конкурентных преимуществ. В то же время стабилизация цен, в свою очередь, является функцией товарооборота и профессионального уровня специалистов, обеспечивающих выпуск конкурентоспособной продукции.

Итак,

ψ_ij = F {V_ij(φ), Q_ij},

где ψ_ij ― уровень конкуренции j-продукции i-ой группы;

V_ij(φ) ― фактор стабилизации цен j-продукции i-ой группы;

Q_ij ― качество продукции j-продукции i-ой группы.

В свою очередь,

V_ij(φ) = ƒ (Т_ij, П_ij),

где Т_ij ― товарооборот j-продукции i-ой группы;

П_ij ― профессиональный уровень специалистов на производство j-продукции i-ой группы, отвечающих за выпуск конкурентоспособной продукции.

Таким образом,

ψ_ij = F {ƒ (Т_ij, П_ij), Q_ij}.

Итак, применительно к российским условиям закон трех ключевых факторов предполагает стабилизацию цен за счет увеличения товарооборота и повышения профессионального уровня специалистов.