- •Введение
- •Программа государственного экзамена для специальности ми, мия Алгебра
- •1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
- •2. Группы, подгруппы, изоморфизм и гомоморфизм групп. Примеры и простейшие свойства.
- •3. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Фактор-группа.
- •4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
- •5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.
- •6. Поле, простейшие свойства полей. Примеры полей. Поле рациональных чисел. Расширения поля.
- •7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.
- •8. Матрицы и определители.
- •10. Линейные операторы. Примеры и матричное представление. Матрицы линейных операторов в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа.
- •12. Сравнимость целых чисел по числовому модулю. Кольцо классов вычетов. Сравнения и их основные свойства. Полная и приведённая система вычетов.
- •13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теоремы Эйлера и Ферма.
- •14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.
- •15. Приводимые и неприводимые многочлены над различными полями.
- •16. Корни многочлена. Теорема о количестве комплексных корней многочлена. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
- •Литература
- •Геометрия
- •Пространство е3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения к решению задач.
- •Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
- •Группа движений (перемещений) плоскости. Классификация движений. Приложения движений к решению задач.
- •Определение преобразования подобия плоскости. Группа преобразования подобия и ее подгруппы. Приложения преобразований подобия к решению задач.
- •Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.
- •Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.
- •Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.
- •Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
- •Топологическое пространство. Топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников.
- •Линии и поверхности в е3. Первая основная квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Литература:
15. Приводимые и неприводимые многочлены над различными полями.
15.1 Определение и примеры приводимых и неприводимых многочленов. Свойства (достаточно доказать одно). Многочлены, которые не являются ни приводимыми, ни неприводимыми.
15.2. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей, его единственность.
15.3. Теорема о сопряжённых корнях многочлена с действительными коэффициентами. Теорема о неприводимых над полем действительных чисел многочленах.
[1] гл. 14 § 2, гл. 16 § 2; [2] § 48; [3] §9, 14; [4] гл. 2 § 2, гл. 4 § 3.
16. Корни многочлена. Теорема о количестве комплексных корней многочлена. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
16.1. Понятие о корнях многочлена. Теорема Безу.
- 8 -
16.2. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (основная теорема алгебры и следствия из неё, достаточно доказать следствие о количестве комплексных корней многочлена). Теорема Виета.
16.3. Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.
[1] гл. 16 § 1; гл. 17 § 1; [2] § 22 – 24; [3] § 12 – 13, 17; [4] гл. 1 § 2, гл. 4 § 2, гл. 5 § 1.
Литература
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Лань, М.: Физматкнига. – 2007. – 432 с.
3. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966. – 336 с.
4. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение. – 1980. – стр. 33 – 47.
5. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с.
6. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. – М.: Просвещение, 1974.
7. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Алгебра и геометрия. – Минск: Высшая школа, 1989. – 288 с.
8. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 168 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в трёх томах).– М.: Физматлит. – 2001.
Геометрия
Пространство е3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения к решению задач.
Скалярное произведение векторов: определение, вычислительная формула. Свойства. Векторное произведение векторов: определение, вычислительная формула, свойства. Смешанное произведение векторов: определение, вычислительная формула, свойства. Условия коллинеарности и компланарности векторов через произведения векторов. Площадь треугольника, объем тетраэдра. Векторный метод решения задач школьного курса геометрии.
[1] §8, 9, 53, 55, 56, 58; [3] раздел 1, §9; раздел 2, §4, 5; [5] §6, 7, 8, 43-46.
Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
Общее уравнение плоскости в Е3. Плоскость – алгебраическая поверхность первого порядка. Исследование взаимного расположения двух плоскостей по их уравнениям. Задание и вывод уравнения прямой в Е3. Исследование взаимного расположения прямой и плоскости по их уравнениям. Исследование взаимного расположения двух прямых в пространстве по их уравнениям. Примеры решения задач по изложенной теории.
- 9 -
[1] §57, 59, 60, 61, 63, 64; [3] раздел 2 § 7-9, 11-13; [5] §48, 52, 54.