- •Введение
- •Программа государственного экзамена для специальности ми, мия Алгебра
- •1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
- •2. Группы, подгруппы, изоморфизм и гомоморфизм групп. Примеры и простейшие свойства.
- •3. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Фактор-группа.
- •4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
- •5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.
- •6. Поле, простейшие свойства полей. Примеры полей. Поле рациональных чисел. Расширения поля.
- •7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.
- •8. Матрицы и определители.
- •10. Линейные операторы. Примеры и матричное представление. Матрицы линейных операторов в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа.
- •12. Сравнимость целых чисел по числовому модулю. Кольцо классов вычетов. Сравнения и их основные свойства. Полная и приведённая система вычетов.
- •13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теоремы Эйлера и Ферма.
- •14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.
- •15. Приводимые и неприводимые многочлены над различными полями.
- •16. Корни многочлена. Теорема о количестве комплексных корней многочлена. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
- •Литература
- •Геометрия
- •Пространство е3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения к решению задач.
- •Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
- •Группа движений (перемещений) плоскости. Классификация движений. Приложения движений к решению задач.
- •Определение преобразования подобия плоскости. Группа преобразования подобия и ее подгруппы. Приложения преобразований подобия к решению задач.
- •Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.
- •Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.
- •Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.
- •Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
- •Топологическое пространство. Топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников.
- •Линии и поверхности в е3. Первая основная квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Литература:
10. Линейные операторы. Примеры и матричное представление. Матрицы линейных операторов в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
10.1. Понятие оператора, линейного оператора. Примеры линейных и нелинейных операторов. Свойства.
10.2. Матрица линейного оператора. Теорема о взаимно-однозначном соответствии между линейными операторами и их матрицами. Действия над линейными операторами и их матричное представление. Оператор перехода от одного базиса к другому.
10.3. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Определение. Характеристический многочлен линейного оператора. Метод вычисления собственных значений и собственных векторов линейных операторов. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
[1] гл. 8 § 1 – 2, 5; [2] § 31, 33.
11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа.
11.1. Определение простого и составного числа. Примеры. Теорема о наименьшем простом делителе составного числа. Решето Эратосфена. Теорема о бесконечности множества простых чисел.
11.2. Основная теорема арифметики (о разложении чисел в виде произведения простых множителей). Каноническое представление чисел. Примеры. Применение канонических преставлений для нахождения НОД и НОК.
[1] гл. 11 § 1; [5] гл.2.
12. Сравнимость целых чисел по числовому модулю. Кольцо классов вычетов. Сравнения и их основные свойства. Полная и приведённая система вычетов.
12.1. Определение сравнимости целых чисел по данному натуральному модулю. Примеры. Свойства сравнений (достаточно доказать 1 – 2 свойства).
- 7 -
12.2. Определение класса вычетов по данному модулю. Теорема о кольце классов вычетов (достаточно только сформулировать). Определения полной и приведённой системы вычетов. Примеры.
[1] гл. 12 § 1 – 3; [5] гл. 7 – 9.
13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теоремы Эйлера и Ферма.
13.1. Понятие о полной и приведённой системе вычетов, о взаимно простых числах. Определение функции Эйлера. Примеры вычисления функции Эйлера.
13.2. Понятие линейного сравнения с одним неизвестным. Исследование решения (случаи, когда сравнение имеет единственное решение, не имеет решений, имеет несколько решений). Различные способы решения сравнений первой степени с одним неизвестным.
13.3. Теоремы Эйлера и Ферма. Их применение к решению сравнений.
[1] гл. 12 § 2 – 4; [5] гл. 9 – 11, гл. 14.
14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.
14.1. Понятие о многочлене от одной переменной над произвольным кольцом, полем. Операции над многочленами. Теорема о кольце многочленов над полем. Степень многочлена.
14.2. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов. Делимость многочленов. Основные свойства делимости.
14.3. Наибольший общий делитель двух многочленов. Теорема о существовании и единственности. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное двух многочленов. Свойства. Взаимно простые многочлены и их свойства.
[1] гл. 14 § 1 – 2; [2] § 20 – 21, 47; [3] § 7 – 8; [4] гл. 1 § 1гл. 2 § 1.