- •Введение
- •Программа государственного экзамена для специальности ми, мия Алгебра
- •1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
- •2. Группы, подгруппы, изоморфизм и гомоморфизм групп. Примеры и простейшие свойства.
- •3. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Фактор-группа.
- •4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
- •5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.
- •6. Поле, простейшие свойства полей. Примеры полей. Поле рациональных чисел. Расширения поля.
- •7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.
- •8. Матрицы и определители.
- •10. Линейные операторы. Примеры и матричное представление. Матрицы линейных операторов в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа.
- •12. Сравнимость целых чисел по числовому модулю. Кольцо классов вычетов. Сравнения и их основные свойства. Полная и приведённая система вычетов.
- •13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теоремы Эйлера и Ферма.
- •14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.
- •15. Приводимые и неприводимые многочлены над различными полями.
- •16. Корни многочлена. Теорема о количестве комплексных корней многочлена. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
- •Литература
- •Геометрия
- •Пространство е3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения к решению задач.
- •Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
- •Группа движений (перемещений) плоскости. Классификация движений. Приложения движений к решению задач.
- •Определение преобразования подобия плоскости. Группа преобразования подобия и ее подгруппы. Приложения преобразований подобия к решению задач.
- •Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.
- •Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.
- •Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.
- •Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
- •Топологическое пространство. Топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников.
- •Линии и поверхности в е3. Первая основная квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Литература:
Федеральное агентство по образованию РФ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Ульяновский государственный педагогический университет
имени И.Н. Ульянова
Гришина С.А.
Глухова Н.В.
Прокопьев Г.С.
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Методические рекомендации для студентов физико-математического факультета (специальность «математика – информатика»,
«математика – иностранный язык)
Ульяновск, 2010
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
ГОУ УлГПУ имени И.Н. Ульянова
УДК 512
С.А. Гришина, Н.В. Глухова, Г.С. Прокопьев
Государственный экзамен по математике. Алгебра и Геометрия. Методические рекомендации для студентов физико-математического факультета (специальность «математика – информатика», «математика – иностранный язык).
Учебное пособие содержит все вопросы по алгебре и геометрии, включенные в программу государственного экзамена по математике.
Название каждого пункта – формулировка экзаменационного вопроса. Следующее за этим текстом – примерный план ответа на вопрос. В заключении указываются параграфы учебной литературы, необходимые для подготовки к ответу.
Рецензент - Е.В.Фолиадова, доцент, кандидат физико-математических наук
Ульяновский государственный педагогический университет
имени И.Н. Ульянова, 2010 г
- 3 –
Введение
В программу государственного экзамена по математике для выпускников физико-математического факультета (специальность МИ, МИЯ) включены двенадцать наиболее важных вопросов по геометрии и 16 по алгебре.. В ответах на них студенты должны показать не только знания соответствующих курсов, но проявить общую математическую культуру, умение использовать знания по алгебре для исследования алгебраических и геометрических вопросов, а также показать применение этих знаний в преподавании геометрии в школе.
В ответах должны быть показаны знания:
- аксиоматического метода изложения и различных аксиоматик евклидовой геометрии;
- неевклидовых геометрий и их значения;
- различных групп преобразований плоскости и умение решать задачи на доказательство и построение с помощью преобразований;
- векторного и координатного методов при изложении геометрии;
- теории изображений фигур при параллельном проектировании и умение решать задачи на проекционном чертеже;
- определений топологического пространства, топологического многообразия и свойств двумерных топологических многообразий;
- теории изображений фигур при параллельном проектировании и умение решать задачи на проекционном чертеже;
- основных понятий алгебры (группа, кольцо, поле, векторное пространство);
- аксиоматики основных числовых систем;
- теории сравнений с их арифметическими приложениями;
- методов вычисления корней многочленов, разложений многочленов на множители;
- теории делимости в кольце многочленов и кольце целых чисел.
Кроме того, экзаменующийся должен владеть логической символикой, уметь грамотно выполнять преобразования алгебраических выражений, уметь решать системы линейных уравнений и системы линейных сравнений.
- 4 -
Программа государственного экзамена для специальности ми, мия Алгебра
1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
1.1. Понятие бинарного отношения. Примеры. Виды бинарных отношений: рефлексивное, симметричное, транзитивное, антирефлексивное, антисимметричное.
1.2. Отношение эквивалентности. Примеры. Классы эквивалентности, фактор-множество. Разбиение множества на классы эквивалентности. Теорема о задании отношения эквивалентности с помощью разбиения и о задании разбиения множества с помощью отношения эквивалентности (одну из теорем требуется доказать).
1.3. Отношение порядка, строгого порядка, линейного порядка.
[1] гл. 2 § 2, 4, 5.
2. Группы, подгруппы, изоморфизм и гомоморфизм групп. Примеры и простейшие свойства.
2.1. Определение группы. Примеры. Аддитивные и мультипликативные группы.
2.2. Простейшие свойства (достаточно доказать одно свойство).
2.3. Понятие подгруппы. Примеры. Критерий подгруппы.
2.4. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Свойства изоморфизмов (достаточно доказать одно из свойств).
[1] гл. 3 § 3; [2] § 63, 64; [3] § 40.
3. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Фактор-группа.
3.1. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Доказательство того, что данное отношение является отношением эквивалентности. Классы смежности группы по подгруппе. Левостороннее и правостороннее разложение группы. Метод нахождения классов смежности. Примеры. Теорема Лагранжа.
3.2. Нормальный делитель группы. Два определения и их эквивалентность. Фактор-группа (определение, доказательство того, что фактор-группа является группой, примеры).
[1] гл. 10 § 2, 4; [2] § 65.