3.3.2.Операторный метод для действительных корней.

Составим операторную схему замещения (рис.3.4.4).

До коммутации тока в катушке и напряжения на конденсаторе не было. Это значит, что в цепи нулевые начальные условия u_C(0) = 0 и i₁(0) = 0. Изображение тока i(t) I(p) запишем по закону Ома:

, где р = σ+jω – оператор Лапласа.

Изображение постоянного напряжения U есть

.

Операторное сопротивление Z(p) равно

.

Тогда,

(3.5)

Подставив числовые значения, получим :

Изображение тока представляет собой отношению двух функций переменного р, причем степень многочлена F₂(р) больше степени многочлена F₁(p), то есть I(p) представляет собой правильную дробь.

Для того чтобы вычислить оригинал - ток i(t), нужно вос­пользоваться формулой разложения. С этой целью нужно сначала найти корни знаменателя. К двум корням, которые мы вычислили в классическом методе: p₁ = -9420 р₂ = -1380 , добавился третий корень р₃ = 0. Наличие нулевого корня свидетельствует о существовании принужденной составляющей.

Оригинал тока находим, используя формулу разложения:

Здесь F₃(p) = F₂/p = 10^-5p² + 0,108p + 130.

Определим производную знаменателя:

.

Подставляя в выражения для F₁(p) и F₃^’(р) зна­чения корней, подсчитаем соответственно F₁(р_к) и F₃^’(р_к):

Окончательно получим:

Результат идентичен полученному классическим методом.

На примере той же схемы (рис.3.4.1) рассмотрим случай комплексно-сопряженных корней.

Параметры цепи:

U = 220 B

R₁ = 50 Ом

R₂ = 100 Ом

L = 50 мГн =5·10^-2 Г

С = 8 мкФ = 8·10^-6 Ф

3.3.3. Классический метод для комплексно-сопряженных корней.

Ищем решение для тока i₁(t) как сумму принужденной и свободной составляющих

i₁(t) = i_L(t) = i_1пр + i_1св.

Принужденные составляющие определяются в установившемся режиме

.

Корни характеристического уравнения находим из выражения (3.2):

.

Подставляя значения параметров, получим:

p_1,2 = -2250 ± j1561,25.

Так как корни комплексно-сопряженные, свободную составляющую ищем в виде:

Здесь δ = 2250, ω_св = 1561,25, тогда

i₁(t) = 1,467 +

Для определения постоянных А₁ и γ запишем производную тока i₁(t)

В момент времени t = 0 согласно условий (3.1) и (3.3) имеем:

i₁(t) = 0 и .

Постоянные определяем, решая систему уравнений для тока и его производной в момент времени t = 0.

Из первого уравнения:

.

Подставляем А₁ во второе уравнение:

Отсюда

,

Ток i₁(t):

.

Для определения тока i₂(t) запишем уравнения для независимой переменной u_C(t) и ее производной:

В начальный момент времени t = 0 по условию (3.1) u_C(t) = 0, производная, согласно (3.4) равна

С учетом этого для t = 0 имеем:

.

Из первого уравнения:

.

Подставляем во второе уравнение

Отсюда

=C[ ]=

Преобразуем выражение в квадратных скобках.

Окончательно ток запишется:

Ток в неразветвленной части цепи:

Преобразуем выражение в скобках.

Окончательный результат

.