3.3.1. Классический метод для действительных корней.
В докоммутационном режиме источник питания был отключен, поэтому токи и напряжения схемы были равны нулю, следовательно, независимые начальные условия:
iL(0+)= iL(0-)= 0, uC (0+) = uC(0-) = 0. (3.1)
Ток в неразветвленной части цепи можно найти как сумму токов в ветвях
i(t) = i1(t) + i2(t)
Находим токи i1(t) и i2(t).
Определяем ток индуктивности в виде суммы принужденной и свободной составляющих:
i1(t) = iL(t) = i1пр + i1св.
Принужденная составляющая – это ток в послекоммутационном установившемся режиме (при t = ∞). Для постоянного тока емкость представляет разрыв цепи, а индуктивность – короткое замыкание. Схема будет иметь вид, представленный на рис.3.4.2.
Принужденная составляющая индуктивного тока будет равна общему току цепи в установившемся режиме.
.
Для определения свободной составляющей составим характеристическое уравнение схемы через входное сопротивление:
Произведем
замену j
→ p,
где
- символ дифференцирования.
.
Дробь равняется нулю, если нулю равен числитель
Запишем приведенное уравнение:
Получили квадратное уравнение относительно р. Корни уравнения находим из выражения:
.
(3.2)
Подставляя численные значения параметров, получаем
с-1
,
с-1
.
Решение для свободной составляющей определяется корнями характеристического уравнения.
В случае действительных и различных корней переходной процесс апериодический, решение ищется в виде:
В случае равных корней переходной процесс критический, решение будет иметь вид:
В случае комплексно-сопряженных корней переходной процесс периодический, решение имеет вид:
где А1, А2, А3, … – постоянные интегрирования.
В
нашем случае корни действительные и
различные, переходной процесс
апериодический, следовательно, свободную
составляющую ищем в виде:
.
Ток в ветви с индуктивностью определится выражением:
Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 необходимо найти производную от тока индуктивности:
Запишем уравнения для тока и его производной в начальный момент времени t = 0.
.
Определим
i1(0)
и
,
для этого составим уравнение по второму
закону Кирхгофа для контура R2
→ L→
C:
,
при t=0
→
.
В первый момент после замыкания ключа емкость представляет собой короткое замыкание, а индуктивность разрыв цепи (рис.3.4.3).
Т
ак
как в цепи были нулевые начальные
условия, то в момент времени t
= 0 согласно (3.1) i1(0+)
= i1(0-)
= 0.
Тогда i1(0)·R2
= 0.
По второму закону коммутации uC(0+) = uC(0-) = 0. Cледовательно,
=0. (3.3)
Система уравнений для тока индуктивности и его производной в начальный момент времени будет иметь вид:
.
Решая эти уравнения относительно А1 и А2 находим:
А1 = -1,98, А2 = 0,29.
Ток i1(t) ,будет изменяться по закону:
.
Найдем ток i2(t). Так как начальные уравнения можно записать только для независимых переменных (iL(t) или uC(t)), то сначала определяем напряжение на емкости, которое представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих.
uC(t) = uСсв + uCпр.
Принужденная составляющая определяется в установившемся режиме:
uCпр = i1прR2= 1,69·80 = 135,2 B.
Свободная составляющая:
.
Тогда
.
Для определения постоянных интегрирования запишем производную напряжения uC(t):
.
Найдем значения напряжения на емкости и его производной в начальный момент времени t = 0.
По второму закону коммутации uC(0+) = uC(0-) = 0.
Составим
уравнение по первому закону Кирхгофа:
i(t)
= i1(t)
+i2(t).
Учитывая, что
,
получим:
.
В момент времени t = 0 по первому закону коммутации ток
i1(0+)=i1(0-)=0, следовательно (см. рис.3.2.3), i(0+) = i2(0+) = U/R1.
Подставив числовые значения, получим:
Отсюда
(3.4)
Запишем систему уравнений для начального момента времени t = 0:
.
Решая эту систему уравнений, находим: А3 = -250,43; А4 = 115,23.
Подставим значения постоянных интегрирования в выражения для напряжения и тока емкости.
В.
Ток в неразветвленной части цепи:
