2. Математическая постановка задачи

Для решения задачи возьмем данные, рассмотренные в пункте 1. При выводе уравнений равновесия будем использовать аксиомы механики. Согласно принципу отвердевания, равновесие деформируемого тела не изменится, если тело считать абсолютно твердым. Очевидно, если нить ABCD находится в равновесии, то в равновесии будет находиться и каждый элемент этой нити. Мысленно выделим из нити ABCD элемент длиной l, и будем считать длину выделенного элемента бесконечно-малой. Со стороны отброшенных частей нити на элемент действуют силы T1 и T2; эти силы действуют в соответствии с другой аксиомой механики, которую называют аксиомой связей. По аксиоме связей, любое несвободное материальное тело можно считать свободным, если отбросить связи, наложенные на тело, и заменить их действия реакциями связей. Кроме того, на выделенное тело действует давление воздуха, складывающееся из двух сил: внутренней силы давления со стороны воздуха, находящегося в оболочке, и внешней силы давления со стороны воздуха, находящегося вне оболочки (рис.2).

T₂ φ/2 Y₁

φ/2

φ/2

P₁^абс

O T₁

P

P₂^абс

рис.2

Так как длина выделенного элемента бесконечно мала, то можно считать, что форма этого элемента представляет собой дугу окружности неизвестного радиуса и центра. Тогда длина выделенного участка будет равна:

l = rφ. (3)

Внешнее и внутреннее давление действует перпендикулярно l (по радиусу) и, по длине l давления сводятся к силе Р, приложенной в центре элемента и направленной по радиусу (параллельно оси Oy1)

P = (P1абс – P2абс)rφ. (4)

Рассматриваемый элемент считается абсолютно твердым, поэтому действующие на него силы можно перемещать вдоль их линии действия. Линии, по которым действуют силы T1, T2, P, пересекаются в точке О. Такие системы сил называют сходящимися. Твердое тело, на которое действует система сходящихся сил, будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил будет равна нуль или, что-то же самое, сумма проекций на каждую ось выбранной системы координат будет равна нулю.

Проецируем силы на оси системы координат Ox1y1:

Ox1: , (5)

Ox2: . (6)

Из уравнения (5) получаем T1 = T2, т.е. сила натяжения в рассматриваемом случае постоянна вдоль длины нити. Угол φ мал, т.к. длина l очень мала, значит sinφ ≈ φ. Тогда из уравнения (6) с учетом (4) и (5) имеем:

T = (P1абс – P2абс)r = const. (7)

Из (7) следует, что если избыточное внешнее давление отсутствует, или постоянно вдоль по длине нити, то поперечное сечение пневмооболочки представляет собой круговой элемент.

Так как абсолютное давление определяется по формуле (1), то из (7) для рассматриваемой задачи получаем:

. (8)

В рассматриваемой задаче нить находится под действием трех характерных зон избыточного давления: зоне BC с давлением P1 соответствует радиус r1 (рис.3); зоне обжатия CD, с избыточным нулевым давлением соответствует отрезок прямой CD (или дуга окружности бесконечно-большого радиуса); зоне DA с избыточным давлением (P1 – P2) соответствует радиус r2. При этом r2>r1.

Таким образом, кривая ABCD состоит из фрагментов двух окружностей радиусов r1 и r2 , и прямой CD; в точках C и D происходит скачок давлений, и в этих точках дуги должны гладко сливаться с прямой CD. Гладкий переход возможен только тогда, когда центры дуг окружностей O1 и O2 находятся на одной вертикали соответственно с точками С и D, т.е.

Xo2 = XB,(9)

Xo1 = XC.

Обозначая, через φ1 и φ2 центральные углы дуг из геометрии имеем:

r1(1 – cosφ1) = H + YB, (10)

r2(1 – cosφ2) = H + YA, (11)

Xo1 = XB + r1sinφ1, (12)

Xo2 = XA – r2sinφ2. (13)

Условие растяжимости нити дает еще одно уравнение:

(14)

где ТЕ – модуль упругости (100000 н/м). При ТЕ→∞ получаем частный случай, условие не растяжимости нити:

r1φ1 + r2φ2 + Xo2 – Xo1 = l0.

В дальнейшем будем считать, что нить растяжима.

Объединяя уравнения (8), (10), (11), (12), и (13), а также уравнения (2) и (3), получаем систему из 7 нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных φ1, φ2, r1, r2, P1 и S:

P 1r1 + P1f(Xo2 – Xo1) = (P1 – P2)r2, (15.1)

r2(1 – cosφ2) = H + YA, (15.2)

r1(1 – cosφ1) = H + YB, (15.3)

(15) Xo1 = XB + r1sinφ1, (15.4)

Xo2 = XA – r2sinφ2, (15.5)

(15.6)

(РАТМ + Р1)(S0L)n = (PАТМ + P2)(SL)n , n=1,4 (15.7)

Проанализируем систему (15). Если площадь S, ограниченная ABCD и AB, определяемая уравнением (16), известна, то при заданном P11 из последнего уравнения системы (15) легко определить давление в оболочке (это будет показано ниже) P1 . Вместе с тем давление P11 не входит в первые 6 уравнений системы (15). Это позволяет разделить задачу. В самом деле, если считать P1 заданным, решим первые 6 уравнений системы и далее, используя уравнение (16), построим процедуру определения P1 исходя из необходимого удовлетворения уравнения (15.7).