Вариант 8

1. Найдите матожидание и дисперсию равномерного распределения на отрезке (m ̶ , m + ).

2. Вероятность того , что наудачу выбранная деталь не стандартна, равна 0,2. Какова вероятность того, что среди случайно отобранных 600 деталей относительная частота отклонится от вероятности появления нестандартной детали по абсолютной величине не более чем на 0,05?

3. По техническим условиям средняя прочность троса составляет 2000 кг. В результате испытаний 20 кусков троса было установлено, что средняя прочность на разрыв равна 1955 кг при средней ошибке

25 кг. Удовлетворяет ли образец троса техническим условиям?

4. Может ли функция распределения быть константой на всей области определения?

( т.е. F(x) = C для любого ).

Вариант 9

1. Пусть СВ X задана законом распределения

X	– 3	– 2	0	2
p	0,1	0,2		0,3

Изобразить график функции распределения, найти P(|X| ≤ 2).

2. Произведено 300 независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления события А

равна 0,2. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит 0,02.

3. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где m - частота попадания вариант в промежуток (x , x ].

i		m
1 2 3 4 5	2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 - 12	5 8 16 12 9

4. Отдел технического контроля бракует в среднем 3 % поступающих деталей. Для проверки изделий на качество поступила партия в количестве 1000 штук. Чему равна вероятность того, что будет забраковано не менее 50-ти изделий?

Вариант 10

1. Из партии объема 40 взята выборка объема 10. Если в партии 5 дефектных образцов, то

какое среднее число дефектных изделий можно ожидать в такой выборке?

Как часто можно ожидать именно этого (среднего) результата?

2. Плотность СВ X задана формулой

Найти константу с и M(X).

3. Построить ДВР и начертить полигон для следующего распределения электрического тока в сети

39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44,40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 42.

4. Пусть статистическая гипотеза состоит в признании продукции предприятия некачественной. Какие последствия имеет, в данном случае, ошибка 2-го рода?

Вариант 11

1. Для рекламы фирма вкладывает в каждую десятую единицу продукции приз в 1000 руб. Пусть СВ X – размер выигрыша при двух сделанных покупках. Найти распределение X, M(X).

2. Плотность распределения вероятностей нормально распределенной С.В. X имеет вид (x) = . Найти , P(1 ≤ X ≤ 2), если a = 2, b = 8, c = ̶ 2

3. Из большой партии изготовленных валиков по выборке объема найдена выборочная средняя арифметическая диаметра валика, равная 10 мм. Считая, что диаметр валика X – нормально распределенная СВ, найти доверительный интервал, который с доверительной вероятностью 0,99 покрывает неизвестное математическое ожидание а диаметра валика, если генеральное среднее квадратичное отклонение мм.

4. Какая оценка неизвестного параметра генеральной совокупности называется состоятельной? Откуда следует, что — состоятельная оценка M(X)?

Вариант 12

1. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 минут. Считая, что СВ X – время ожидания автобуса – распределена равномерно, найти среднее время ожидания и среднее квадратичное отклонение СВ.

2. Плотность вероятности СВ X задана формулой

Найти параметр C, M(X).

3. Необходимо проверить партию, состоящую из 50 изделий. План контроля предусматривает проверку 10 изделий. Если из них оказываются плохие, мы возвращаем всю партию, в противном случае принимаем. Если в партии 6 бракованных изделий, как часто будет приниматься решение об ее возврате?

4. Верно ли, что интервальное оценивание тесно связано с проверкой гипотез при двусторонней критической области? Ответ пояснить.

Вариант 13

1. Пусть СВ X распределена равномерно на отрезке [0;5]. Найти M(X ).

2. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет находиться в пределах от 564 до 600.

3. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины X, если известны ее среднее квадратичное отклонение 4, выборочная средняя 16 и объем выборки n = 16.

4. Доказать, что .

Вариант 14

1. Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба. На рекламу может быть израсходовано определенное количество средств. В таблице приведены возможное количество проданных в течение месяца заводов (X) и объем средств, израсходованных на рекламу (Y). Каждой паре (x , y ) случайных величин (X,Y) поставлена в соответствие вероятность p(x , y ) появления этой пары.

X Y	0	1	2
1	0,12	0,15	0,1
2	0,08	0,1	0,12
3	0,05	0,1	0,18

Требуется составить условный закон распределения вероятностей величины Y при X = 2.

2. Погрешность измерения является СВ X N(0, 9). Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит 3.

3. На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов = 10 г. Взвешено 25 пакетов, при этом их средний вес составил 244 г. В каком интервале с надежностью 95 % лежит истинное значение среднего веса пакетов?

4. Предположим, что вы отвергли нулевую гипотезу при уровне значимости 5 %. Верно ли утверждение о том, что вы автоматически не отвергнете нулевую гипотезу при уровне значимости 1 %? Ответ поясните графически.