8. Первый закон Кирхгофа

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: . Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: согласно гл.10, §15.4, пока ток остается постоянным, заряд не может накапливаться в какой-либо части цепи; если бы сумма токов не была равна нулю, то заряд накапливался бы в узле и ток не оставался бы постоянным. Значит, какой ток притекает к узлу, такой и отходит от него. Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

9. Второй закон Кирхгофа

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: . В любом замкнутом контуре, выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I_k на сопротивления R_k соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС ε_i, содержащихся в этом контуре. Если ЭДС в контуре нет, то .

Доказательство теоремы. Вывод формулы: задавая направление тока в ветвях выбранного контура АВС, запишем законы Ома для каждой ветви. Положительное направление обхода контура задается произвольно. Если ветвь содержит ЭДС, то записываем закон Ома для неоднородного участка цепи, если не содержит, то используем закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС. Знаки у слагаемых берем с учетом направления тока и знака ЭДС (в электротехнике ток идет от п люса «+» к минусу «−»):

Складывая равенства почленно, получим

I₁R₁ − I₂R₂ + I₃R₃ = φ_А − φ_В + φ_В − φ_С + φ_С − φ_А + + ε₁ − ε₂.

Сокращая одинаковые по величине и противоположные по знаку потенциалы и воспользовавшись знаком суммы, получим искомую формулу . Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется для проводников (металлов) и полупроводников в интервале температур от превышающих температуры сверхпроводимости до температуры плавления.

10. Два закона электролиза: закон Фарадея и выражение для электрохимического эквивалента

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: предполагается, что учащемуся из школьного курса химии известно явление электролитической диссоциации. По закону Фарадея

m = k·I·t, (1)

который вначале был получен им как экспериментальный закон, масса вещества m, выделившаяся на электроде при электролизе, прямо пропорциональна силе тока, протекающего через электролит I, и времени его протекания t.

К оэффициент пропорциональности k называется электрохимическим эквивалентом, он зависит от рода вещества и от фундаментальных констант:

k = , тогда m = ·I·t , (2)

где μ – молярная масса вещества; N_A – число Авогадро; e – заряд электрона; Z – валентность ионов, переносящих заряд. Произведение заряда электрона на число Авогадро называется числом Фарадея:

F = e·N_A = 96500 Кл/моль. k = , тогда m = ·I·t. (3)

Доказательство теоремы. (Вывод формулы): закон Фарадея нетрудно доказать, исходя из электронной модели заряда. Каждый ион вещества, участвующего в электролизе, переносит массу вещества, равную массе одной молекулы m₀ (согласно гл 5.9 m₀ = ). Число ионов N, осевших на электроде, равно заряду, прошедшему через электролит Q, деленному на заряд одного иона q₀ , который, как известно из химии, равен недостатку электронов в ионе по сравнению с нейтральным атомом: q₀ = = e·Z (заряд одного электрона, помноженный на валентность иона).

Масса вещества, осевшего на электроде, равна массе одного иона N = , помноженной на число ионов, перенёсших заряд Q:

m = m₀·N = · . Вспомнив определение постоянного тока I = Q/t, откуда Q = I·t, придем к закону Фарадея в форме (2): m = ·I·t. Теорема доказана.

Следствие: иногда закон Фарадея записывают, не выражая суммарный заряд через ток: m = ·Q; m = ·Q; m = k·Q.

Условия выполнения: выполняется в случаях прохождения постоянного тока через электролиты. На катоде (отрицательном электроде) осаждается масса вещества.