4. Сопротивление участка цепи при параллельном соединении проводников

Т еорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: . При параллельном соединении проводников единица, деленная на суммарное сопротивление участка цепи, равна сумме единиц, деленных на сопротивление каждого из проводников на этом участке.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: , где U – падение напряжения на участке; I – общий ток в цепи. Общий ток в цепи равен сумме токов в каждой из ветвей цепи: I = = I₁ + I₂. Падение напряжения на каждой ветви одинаково, т.к. каждая из них начинается в точке с потенциалом φ₁ и заканчивается в точке с потенциалом φ₂, а U = φ₁ − φ₂. Значит, = . Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

5. Ёмкость участка цепи при последовательном соединении ёмкостей

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: . При последовательном соединении ёмкостей единица, деленная на суммарную емкость участка цепи, равна сумме единиц, деленных на ёмкость каждого из конденсаторов на этом участке.

Д оказательство теоремы. Вывод формулы: из определения ёмкости следует , где U – падение напряжения на участке; q – заряд, находящийся на одной из обкладок конденсаторов. Из теоремы гл.10, §15.4 и экспериментального закона гл.10, §14.1 следует, что на каждой из обкладок при последовательном соединении конденсаторов находится одинаковый заряд. Согласно теореме гл.11, §17.2 падение напряжения на последовательно соединенных конденсаторах равно сумме напряжений на каждом из них. Значит, ; . Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

6. Ёмкость участка цепи при параллельном соединении емкостей

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: C_об = C₁ + C₂. При параллельном соединении ёмкостей суммарная ёмкость участка цепи равна сумме ёмкостей каждой из ветвей на этом участке.

Д оказательство теоремы. Вывод формулы: С_об = , где U – падение напряжения на всем участке; q – общий заряд одного знака на всех обкладках конденсаторов.

Падение напряжения на каждой ветви одинаково, т.к. каждая из них начинается в точке с потенциалом φ₁ и заканчивается в точке с потенциалом φ₂, а U = φ₁ − φ₂. Суммарный заряд q складывается из суммы зарядов, находящихся на одной из пластин каждого из конденсаторов: q = q₁ + q₂. Значит, С_об = = = . Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

7. Закон Ома для полной цепи. Закон Ома для цепи, содержащей эдс (неоднородный участок цепи)

Т еорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: ток на участке цепи I, содержащем ЭДС ε, равен сумме разности потенциалов на этом участке φ₁ − φ₂ и ЭДС источника ε, деленной на общее сопротивление участка R: , причем R = R₁ + r, где r − внутреннее сопротивление источника ЭДС, а R₁ − суммарное сопротивление остальных элементов участка. ЭДС ε берется со знаком «плюс», если ток, создаваемый ЭДС, течет так же, как ток участка, и со знаком «минус», если в противоположную сторону.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: докажем теорему с помощью закона сохранения энергии. Работа электрических и сторонних сил по перемещению заряда на участке А равна изменению электрической энергии ∆W, и, если провода и другие элементы участка остаются неподвижны, то вся эта энергия переходит в джоулево тепло Q:

Q = ∆W; Q = А. (1)

Согласно гл.9, §13.4 и гл.11, §16.8 А = q·ε + + q·(φ₁ − φ₂), а Джоулево тепло (гл.11, §17.1) Q = = I²Rt = IR·It = IR·q (здесь использовано определение постоянного тока I = q/t).

Подставляя в (1) значения величин и сокращая на q, придем к искомой формуле:

q·ε + q(φ₁ − φ₂) = IR·q → .

При выводе учтено, что тепловые потери присутствуют и внутри источника ЭДС, т.е. R = R₁ + r, где r − внутреннее сопротивление источника ЭДС, а R₁ − суммарное сопротивление остальных элементов выбранного участка.

Следствия:

1. Если участок не содержит ЭДС (ε = 0), формула совпадает с законом Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС:

.

2. Для полной цепи точка 1 совпадает с точкой 2: φ₁ − φ₂ = 0, и получаем закон Ома для полной цепи: , где r – внутреннее сопротивление источника, а R – сопротивление остальных элементов цепи.

Условия выполнения¹⁰: поскольку при выводе использовано следствие из закона Джоуля–Ленца, основанное на законе Ома, то формула выполняется тогда же, когда и закон Ома: для проводников (металлов) и полупроводников в интервале температур от превышающих температуры сверхпроводимости до температуры плавления. Кроме того, элементы цепи не должны совершать механических движений и не должно происходить других видов потерь энергии.