2. Вычисление силы по напряженности

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: F = Eq. Результирующая сила Кулона, действующая на заряд, помещенный в некоторую точку поля, равна величине напряженности в этой точке, помноженной на значение заряда.

Д оказательство теоремы. Вывод формулы: формула следует из определения напряженности: , откуда F_рез= =Eq. Сила Кулона по направлению может совпадать с напряженностью в данной точке, если заряд положительный, а может быть направлена противоположно напряженности, если заряд отрицательный. Формула доказана.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

3. Связь напряженности электрического поля и силы Кулона, действующей на пробник

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: напряженность совпадает по величине и по направлению с результирующей силой Кулона, действующей на пробный заряд:

. Векторы E и F_рез имеют равные модули и одинаковые направления, но E  F_рез, так как эти физические величины имеют разные размерности.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: по определению ;

F_рез =  F₁ + F₂ + F₃ +…+ F_i +… Результирующая сила Кулона − это векторная сумма всех сил электростатического взаимодействия, действующих на выделенный заряд, помещенный в точку пространства с заданной напряженностью, со стороны всех остальных точечных зарядов

; ; ;…; … Величина выделенного заряда q входит в каждое из слагаемых, и если выделенный заряд есть пробник, то . Векторы E и F_рез имеют равные модули и одинаковые направления. Теорема доказана.

Следствие: решая задачи, можно вместо напряженности искать результирующую силу, действующую на пробник, но необходимо помнить, что E  F_рез, так как эти физические величины имеют разные размерности.

Если q = +1, то ‌^|‌‌‌‌E^| = ^|F^| и направлены векторы одинаково

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

4. Принцип суперпозиции для напряженности электрического поля

Т еорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: Е_рез = E₁ + E₂ + E₃ +…+ E_i +… Для напряженности электрического поля выполняется тот же принцип суперпозиции, что и для силы: напряженность системы точечных зарядов в данной точке поля Е_рез равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым из точечных зарядов E_i в отдельности.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: по определению . Результирующая сила Кулона − это векторная сумма всех сил электростатического взаимодействия, действующих на выделенный заряд, помещенный в точку пространства с заданной напряженностью, со стороны всех остальных точечных зарядов: (F_рез = F₁ + F₂ + F₃ +…+ F_i +…), поэтому :

; ; ; .

Е = + + +…+ …

Слагаемые представляют собой напряженности точечных зарядов q₁, q₂, q₃,…, q_i,…, поэтому Е = E₁ + E₂ + E₃ +…+ E_i +… Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

5. Потенциальная энергия электростатического поля

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: энергия электростатического поля потенциальна, то есть работа электростатических сил по перенесению заряда из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: по определению энергия, которой обладает заряд в некоторой точке 1 электростатического поля, есть работа по перенесению этого заряда из точки 1 в бесконечность. Поле создают точечные заряды q₁, q₂, q₃,…, q_i,… По определению работы

(1) как известно из математики, для скалярного произведения выполняется распределительный закон:

=

= . (2)

Здесь первое слагаемое есть работа вдоль пути от данной точки пространства 1 до бесконечности для силы Кулона между первым зарядом q₁, создающим поле, и зарядом, помещенным в точку 1, − A_11∞; второе слагаемое есть работа вдоль того же самого пути для силы Кулона между вторым зарядом, создающим поле, и зарядом, помещенным в точку 1, − A_21∞ и т.д. Таким образом

A_1∞ = A_11∞ + A_21∞ + A_31∞ +…+ A_i1∞ +… (3)

Достаточно доказать, что энергия точечного заряда, находящегося в поле другого точечного заряда, не зависит от формы траектории, так как если каждое из слагаемых не зависит от формы траектории, то и вся сумма не будет зависеть от формы траектории, и теорема будет доказана.

Работа по перенесению точечного заряда q, находящегося в поле другого точечного заряда q_i, из точки 1 до ∞ вдоль любого радиуса для окружности с центром в точке нахождения заряда q_i, равна

А_1∞ = . (4)

Если заряд перемещается по прямой, не совпадающей с радиусом, то

А_1∞ = , где всегда ∆s cos α = ∆r, (5)

и вид формулы не изменится:

А_1∞ = = . (6)

Л юбую траекторию можно разбить на прямолинейные участки, для каждого из которых выполнится (6). Кроме того, все проекции пути на разные радиусы можно последовательно уложить на любом из них. Следовательно, работа по траектории произвольной формы для поля, созданного одним точечным зарядом, равна работе вдоль отрезка любого радиуса, который начинается на окружности, где лежит первая точка, и оканчивается на окружности, которой принадлежит вторая точка.

Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.