11. Формула связи полезной работы с тепловыми энергиями нагревателя и холодильника тепловой машины

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: полезная работа А, произведенная тепловой машиной за один цикл, равна разности тепловых энергий, полученной рабочим телом машины от нагревателя Q₁ и отданной холодильнику Q₂ за один цикл:

А = Q₁ – Q₂.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: доказывается в вузовском курсе общей физики. В школе дается без доказательства.

Условия выполнения: формула выполняется для любой реальной тепловой машины.

12. Коэффициент полезного действия реальной тепловой машины (Второе начало термодинамики)

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: теорема представляет собой одну из формулировок второго начала термодинамики: η_реал < η_max. Доказывается исходя из аксиомы о наилучшей эффективности цикла Карно.

Раскроем формулировку теоремы несколькими способами.

1. КПД любой реальной тепловой машины η_реал, работающей с температурой нагревателя Т₁ и температурой холодильника Т₂, меньше КПД цикла Карно η_max, работающего с теми же температурами нагревателя и холодильника: η_реал < η_max.

2. По определению КПД η , поскольку А = Q₁ – Q₂ , то

η_реал = , η_max = , где Q₁ – теплота, полученная от нагревателя, Q₂ – теплота, отданная холодильнику, А – полезная работа тепловой машины, выполненная за один цикл. Следовательно,

= < .

Доказательство теоремы. Вывод формулы: доказывается в вузовском курсе общей физики. В школе дается без доказательства.

Условия выполнения: второе начало термодинамики выполняется для любой реальной тепловой машины.

13. Связь температурных шкал Кельвина и Цельсия

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: связь температурных шкал Кельвина и Цельсия: T = t + + 273,15 °C. Абсолютная температурная шкала сдвинута относительно шкалы Цельсия в сторону низких температур на 273,15 градуса.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: в уравнениях Шарля P(t) = = P₀(1 + αt) и Гей–Люссака V(t) = V₀(1 + αt) температурные коэффициенты давления и объема в области применения модели идеального газа имеют одинаковые значения α = . Уравнения могут принять более простой вид: и , если сдвинуть нулевую отметку градусной шкалы на расстояние, равное влево так, чтобы новая температурная шкала была связана со старой соотношением t = T – , тогда Р = P₀(1 + αt) = Р₀(1 + α(T – 1/α)) = Р₀(1 + αT – 1) = Р₀ּαּT, откуда следует . Точно так же получим V = V₀(1 + αt) = V₀(1 + α(T – – 1/α)) = V₀(1 + αT – 1) = V₀ּαּT, откуда следует .

Температурная шкала, в которой экспериментальные уравнения состояния газа приобретают наиболее простой вид, и является шкалой Кельвина. T = t + 273,15 °C.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

§10. Формулы термодинамики и гидростатики

1. Давление столба жидкости или газа

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: Р = ρgh. Давление жидкости (или газа) в сосуде или естественном резервуаре на глубине h равно произведению плотности жидкости (или газа) ρ на ускорение свободного падения g и на высоту столба жидкости (или газа) h.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: поместим горизонтальную площадку в резервуаре с жидкостью или газом на глубине h. Сила F, действующая на эту площадку, равна силе тяжести жидкости (или газа) непосредственно над площадкой. Сила тяжести жидкости (или газа) над площадкой равна массе жидкости над ней, умноженной на ускорение свободного падения F = mg. Выразим массу через плотность и объем жидкости (или газа), тогда F = ρּVּg.

Объем жидкости (или газа) над горизонтальной площадкой равен ее площади, умноженной на высоту столба жидкости (или газа):

F = ρּSּhּg.

Давление есть отношение силы нормального давления к площади опоры, на которую она действует, поэтому , откуда

Р= ρgh. По теореме Паскаля давление в жидкости (или газе) изотропно (то есть одинаково по всем направлениям), поэтому давление в жидкости (или газа) на глубине h равно Р = ρgh. Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется в поле тяжести планеты.