8. Работа в термодинамике

Т еорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: при малых изменениях объема малая работа в термодинамике ΔA равна произведению давления P на малое изменение объема ΔV. Работа в произвольном процессе равна сумме всех таких малых работ . По определению интеграла такая сумма равна интегралу от объема V₁ до объема V₂: A = .

Доказательство теоремы. Вывод формулы: выведем формулу для вычисления механической работы в термодинамике, т.е. выразим эту физическую величину через термодинамические параметры.

Ограничимся случаем движения поршня в пробирке. По определению работа переменной силы на участке Δs определяется уравнением

ΔА= FּΔsּcos α, (1)

где F – сила нормального давления поршня на газ, Δs = Δh – малый путь на прямолинейном участке траектории поршня, α = 0 – угол между линией действия силы и прямолинейным участком пути (cos α = ±1).

Чтобы выразить работу через термодинамические параметры, разделим и умножим выражение (1) на площадь поршня S: . Поскольку отношение силы к площади, на которую она действует, по определению есть давление = Р, а произведение площади основания цилиндра на высоту есть объем S∙Δh = ΔV, то ΔA = PּΔV.

Р абота на всем пути h равна сумме всех малых работ А = . Такое суммирование с точки зрения математики есть операция интегрирования. Для тех, кто уже изучал интегралы, можно записать A = . Теорема доказана для движения поршня в пробирке.

Следствие: если изобразить процесс в координатах P и V, то можно увидеть, что работа оказывается равной площади фигуры, ограниченной графиком процесса, осью абсцисс и линиями, параллельными оси ординат. Теорема доказана для движения поршня в пробирке. В вузовском курсе общей физики эта теорема доказывается для любой формы изменения объема газа.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

9. Работа в изобарическом процессе

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: работа для изобарического процесса A равна произведению давления P на изменение объема V₂ – V₁: A = P(V₂ – V₁).

Доказательство теоремы. Вывод формулы: поскольку для любого процесса ΔA = PΔV, а работа на всем пути поршня может быть найдена как сумма работ на всех малых участках пути, то для изобарического процесса, когда Р = const, будем иметь

.

Здесь Σ – знак суммирования, заменяет запись PּΔV₁ + PּΔV₂ + PּΔV₃ + +…, величина давления Р вынесена за знак суммы как константа, а сумма всех последовательных изменений объема равна общему изменению объема. Теорема доказана.

Условия выполнения: формула выполняется для изобарического процесса.

10. Коэффициент полезного действия цикла Карно

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: η_max = . КПД тепловой машины η_max , работающей по циклу Карно с температурой нагревателя Т₁ и температурой холодильника Т₂, равен отношению разности этих температур к температуре нагревателя.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: доказывается в вузовском курсе общей физики. В школе дается без доказательства.

Условия выполнения: формула выполняется для цикла Карно.