2. Уравнение состояния идеального газа

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: P = nkT − уравнение состояния идеального газа.

Д оказательство теоремы. Вывод формулы: уравнение состояния идеального газа – это еще одна форма записи уравнения Менделеева–Клапейрона: . Действительно, запишем соотношения для массы m и молярной массы μ газа через массу одной молекулы и число молекул в газе: m = Nּm₀ и μ = N_Aּm₀, где m₀ – масса одной молекулы и N − число молекул газа в массе m, N_A – число Авогадро. Подставляя значения величин в уравнение Менделеева_Клапейрона, с учетом того, что N/V = n – отношение числа молекул к объему есть концентрация, и сокращая на m₀, получим . Отношение универсальной газовой постоянной к числу Авогадро по определению есть постоянная Больцмана k = , k = 1,38·10⁻²³ . Окончательно получаем P = nkT. Теорема доказана.

Условия выполнения: выполняется для модели идеального газа, причем масса газа остается неизменной.

3. Закон Дальтона

Т

Р_смеси = Р_{паров воды} + +

еорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: P_смеси = Р₁ + Р₂ + Р₃+….. . Закон Дальтона состоит в том, что давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений, т.е. каждый газ из смеси оказывает на стенки такое же давление, как если бы он находился в сосуде один, а общее давление всех газов равно сумме давлений каждого газа в отдельности.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: из уравнения состояния идеального газа следует P = nkT, где n = n₁ + n₂ + n₃+…. – число молекул смеси в единице объема (концентрация) – равно сумме молекул каждого из составляющих ее веществ в единице объёма (сумме концентраций), тогда P = (n₁ + n₂ + n₃+….)kT = n₁kT + n₂kT + n₃kT+… = Р₁ + Р₂ + Р₃+… . Теорема доказана.

Условия выполнения: выполняется для модели идеального газа.

4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: Е_к = − средняя кинетическая энергия молекул газа прямо пропорционально зависит от величины абсолютной термодинамической температуры.

Д оказательство теоремы. Вывод формулы: используя модель идеального газа, предполагается, что давление газа на стенки сосуда возникает в результате ударов отдельных молекул.

Представим себе сосуд в виде куба с длиной ребра Δl, в котором беспорядочно движутся N молекул идеального газа. Ввиду полной беспорядочности движения молекул и ввиду того, что давление по закону Паскаля одинаково во всех направлениях, в каждый момент времени 1/3 всех молекул движется между передней и задней стенками, 1/3 между правой и левой и 1/3 между верхней и нижней стенками куба. Отдельная молекула массы m, летящая перпендикулярно к стенке со скоростью v, упруго отразится назад, при этом изменение импульса молекулы будет равно mv − m(−v) = 2mv.

По второму закону Ньютона изменение импульса молекулы равно импульсу силы fּδt, полученному стенкой во время удара δt; fּδt = 2mv.

Отскочив от стенки, молекула долетит до противоположной стенки, отразится от нее и снова подлетит к первой стенке через некоторое время Δt.

Средний импульс силы f_срּΔt, действующий на стенку между двумя последовательными ударами одной молекулы об одну и ту же стенку, таким образом, будет равен

f_срּΔt = 2mv. (1)

(Применено приближение: поскольку молекул в кубе достаточно много, то какой бы маленький объем внутри куба мы ни взяли, всегда найдется молекула с координатой внутри этого объема, летящая вдоль выбранного направления со скоростью v. Значит, можно рассчитать время полета молекулы между стенками, как будто это одна молекула летает между стенками без столкновений с другими молекулами.)

Δt = , здесь 2Δl – путь молекулы от одной стенки до другой и обратно по перпендикуляру к стенке. Подставляя значение Δt в (1), получим f_ср = . Разные молекулы, движущиеся с различными скоростями v₁, v₂, v₃, … создадут суммарную силу удара:

F = , здесь k – число молекул, движущихся между противоположными стенками. Преобразуем последнее уравнение, помножив и разделив его на число молекул, которое обозначим k:

F = . Величина − среднее значение квадратов скоростей − называется средней квадратичной скоростью. Итак, F = .

Так как давление на все стенки сосуда одинаково (это и показывает экспериментальный закон Паскаля), число молекул, движущихся между противоположными стенками, равно 1/3 от общего числа молекул N (иначе давление на разные стенки сосуда было бы разным), откуда F = = . Поделим обе части этого равенства на Δl²:

(2)

Здесь = Р − давление газа на стенку куба, а = n – концентрация молекул в кубе. Тогда

(3)

Помножив и поделив на 2, получим

, (4)

где − средняя кинетическая энергия молекул газа. Помножив (4) справа и слева на объем одного моля газа V₀, получим , но по уравнению Менделеева−Клапейрона ,

а nּV₀ = N_A, откуда RT = или . Поскольку отношение универсальной газовой постоянной к числу Авогадро есть постоянная Больцмана , то

. (5)

Каждое из соотношений: и (4), и (5) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Теорема доказана.

Условия выполнения: формулы выполняются для модели идеального газа.