5. Связь линейной и угловой скоростей при равномерном движении по окружности

Теорема физики. Формула и словесная формулировка математической записи: v = R − модуль линейной скорости v материальной точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости  на радиус окружности R.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: при движении с постоянной угловой скоростью  = const за равные промежутки времени точка проходит равные углы, значит, она проходит равные дуги окружности, следовательно, и равные пути. Тогда линейная скорость (по модулю) тоже равна константе.

Можно выбрать любой промежуток времени и посмотреть, чему равны  и v за этот промежуток. Так как  = const и v = const, то для любого промежутка времени t значения скоростей будут такие же.

Удобно выбрать время, равное периоду обращения точки по окружности Т. За период (по определению периода) точка пройдет путь, равный длине окружности S = 2R, и угловой путь  = 2, тогда ; поскольку . Подставляя  вместо в формулу для v, получим v = R. Теорема доказана для случая движения с постоянной скоростью.

Р ассмотрим случай, когда угловая скорость изменяется (точка набирает скорость или останавливается). По определению  = . Угол при t → 0 такой маленький, что для соответствующей дуги окружности l  S − она равна пути и перемещению; тогда по теореме Пифагора S = l = Rsin, поскольку при малом изменении угла  соответствующий ему равнобедренный треугольник из радиусов и дуги можно считать прямоугольным. На уроках математики Вы скоро докажете, что для маленького угла , sin = , если  измерен в радианах. Tогда S = R. Поделив справа и слева последнее равенство на время прохождения пути S (а это t  0), мы получим по определению величину линейной скорости v = R.Теорема доказана для случая движения с переменной скоростью.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

6. Выражение нормального ускорения через линейную и угловую скорости

Теорема физики. Формула и словесная формулировка математической записи: . При движении материальной точки по окружности нормальное ускорение а_n равно квадрату линейной скорости v², деленному на радиус окружности R, или квадрату угловой скорости ω², умноженному на радиус R.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: докажем сначала, что если , то a_n = ω²∙R. Действительно, учитывая формулу предыдущего пункта (5): v = ω∙R, имеем .

Т еперь докажем формулу для условия |v| = const: . Вектор v перенесен в точку В (он параллелен самому себе), ΔOAB подобен ΔBCD, т.к. оба треугольника равнобедренные, а углы О и В равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами (скорость всегда направлена по касательной к траектории и для окружности перпендикулярна радиусу, следовательно, BСОА и ВDОВ), сторона СD = v₂ –– v₁. Из подобия треугольников имеем . Поделив последнее равенство на Δt - время прохождения дуги АВ

и устремляя это время Δt к нулю, получим, что точка В устремится к точке А, и АВ – перемещение изучаемой точки − совпадет с путем S, Δφ устремится к нулю и Δv начнет стремиться совпасть по направлению с радиусом ОА (стать параллельной радиусу), тогда по определению нормального ускорения при  0 , а по определению модуля мгновенной скорости = v. при t  0, тогда , откуда следует . Теорема доказана. Теорема может быть доказана не только для случая постоянной по модулю скорости, но и для любого изменения скорости во времени (доказательство не приводится).

Условия выполнения: формула выполняется всегда.