2. Выражение времени через среднюю скорость и путь

Теорема физики. Формула и словесная формулировка математической записи: t = S/v_cp. Время прохождения пути равно этому пути, деленному на среднюю скорость движения.

Д оказательство теоремы. Вывод формулы: формула следует из определения средней скорости: v_cp = S/t, где v_cp – средняя скорость, S – пройденный с этой средней скоростью путь, а t – время прохождения пути. t = S/v_cp. Формула доказана.

Условия выполнения: формула выполняется всегда.

3. Связь мгновенной скорости и постоянного ускорения

Теорема физики. Формула и словесная формулировка математической записи: v_x(t) = v_x0+a_xt. При движении с постоянным ускорением вдоль направления х мгновенная скорость в момент времени t равна произведению ускорения на время движения плюс скорость в начальный момент времени.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: из определения ускорения следует, что ускорение есть изменение скорости в единицу времени за малый промежуток времени.

Введем условие постоянства ускорения. Из определения ускорения следует, что при постоянном ускорении изменение скорости в единицу времени остается постоянным, значит , где моменты времени t₂ и t₁ могут быть не только малыми, но и любыми.

В ключим секундомер в момент времени t₁, тогда t₁ = 0 и v₁ = v_x0; t₂ мы можем брать любое, пока происходит заданный вид движения, значит t₂ = t, а скорость в любой момент времени t обозначим v_x(t). Тогда v₂ = v_x(t), и с учетом сделанных обозначений имеем . Умножая правую и левую части уравнения на время и перенеся начальную скорость из одной части уравнения в другую, получим v_x(t) = v_x0+a_xt. Теорема доказана.

Условия выполнения: формула применима только для постоянного ускорения a_x = const, или, другими словами, для равноускоренного и равнозамедленного движений.

4. Связь координаты и постоянного ускорения

Теорема физики. Формула и словесная формулировка математической записи: . При движении вдоль оси х с постоянным ускорением а_х координата в любой момент времени х(t) находится как сумма трех слагаемых: произведения квадрата времени на половину ускорения плюс произведение начальной скорости v_x0 на время плюс значение координаты в начальный момент времени х₀.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: считаем формулу предыдущего пункта доказанной:

v_x(t) = v_x0+a_xt. (1)

Изобразим данную зависимость графически (см. рис.), вдоль оси у станем откладывать v_x(t), а вдоль оси х – время t.

Разобьем время движения на промежутки t_i такие малые, что изменения скорости за эти промежутки меньше точности применяемых измерительных приборов, и ими (изменениями скорости) можно пренебречь. (Здесь i – индекс нумерации промежутка времени: i = 1, 2, 3,…)

За каждый промежуток времени t_i координата х изменяется на величину х_i = v_x(t_i) t_i, подставляя значение скорости из (1), получим х_i = (a_xt_i + v_x0)t_i. Из чертежа видно, что суммарное изменение координаты

х = х(t) – x₀ = + (2)

р авно площади трапеции ОАВСD, которая состоит из треугольника АВС с площадью S = = (АСВС)/2, равной первой сумме в уравнении (2), и прямоугольника ОАСD с площадью S = (АООD), равной второй сумме в (2), потому что АС = t, ВС = a_xt, АО = v_x0, ОD = t. Заменяя значения сумм на площади и подставляя значения «длин» сторон геометрических фигур, получим формулу:

, откуда следует искомое соотношение

. Вывод формулы завершен.

Условия выполнения: формула применима только для постоянного ускорения a_x = const, или, другими словами, для равноускоренного и равнозамедленного движений.