3. Элементы теории выбора. Описание выбора оптимальных решений на языке бинарных отношений и функций выбора
Выбор является действием, придающим любой деятельности целенаправленность. Именно выбор реализует подчиненность всей деятельности определенной цели или совокупности целей.
Принятие решения представляется как действие над множеством альтернатив, в результате которого получается подмножество выбранных альтернатив. Сужение множества альтернатив возможно, если имеется способ сравнения альтернатив между собой и определения наиболее предпочтительных.
Сложность отыскания наилучшей альтернативы существенно возрастает, когда на практике оценивание любого варианта единственным числом оказывается неприемлемым упрощением. Необходимо оценивать альтернативы не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой.
Критерий, предложенный В. Парето еще в начале XX века, применяется для выбора решений в экономике: «Следует считать, что любые изменения, которые никому не приносят убытков, а некоторым людям (по их собственной оценке), являются УЛУЧШЕНИЕМ».
Дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно. Если рассматривать ее не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, можно сделать вывод, какая из них предпочтительнее.
Бинарные отношения сводятся к следующему:
- отдельная альтернатива не оценивается;
- для каждой пары альтернатив (x, y) некоторым образом можно установить, что одна из них предпочтительнее другой либо они равноценны или несравнимы (чаще всего последние два понятия отождествляются);
- отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от остальных альтернатив, предъявленных к выбору.
Математически бинарное отношение R
на множестве X
определяется как подмножество
упорядоченных пар (x,
y). Удобно использовать
обозначение xRy, если
x находится в отношении
R с y,
и
–
в противном случае.
Для теории выбора особое значение среди всех бинарных отношений имеют те, которые соответствуют предпочтению одной альтернативы перед другой или случаю невозможности отдать предпочтение одной из двух альтернатив.
Отношение эквивалентности (обозначение
~) представляется в виде
т. е. если x и y
принадлежат одному классу эквивалентности.
Отношение нестрогого порядка (обозначение ) можно представить как объединение эквивалентности и условного превосходства.
Отношение доминирования (обозначение >>) означает безусловное превосходство одного элемента бинарного отношения над другим.
Частным случаем отношения доминирования является отношение строго порядка x > y, когда превосходство элемента x над элементом y связано с выполнением условия транзитивности:
В тех случаях, когда выбор на языке бинарных отношений (при сравнении 2-х альтернатив) не обеспечивает получения требуемого результата, тогда приходится использовать более сложный «язык функций выбора».
Язык описывает выбор как операцию над
произвольным множеством альтернатив
Х, которая ставит этому множеству
в соответствие некоторое подмножество
Функция выбора обеспечивает отображение совокупности множеств Сi(X) без поэлементного отображения одного множества на другое и без отображения С(X) на числовую ось.
Главное достоинство языка «функций выбора» это возможность применения более сложных правил выбора С(X) из X.
При системном проектировании для выбора нехудших альтернатив будет использоваться язык бинарных отношений, а для выбора одного компромиссного варианта – язык функций выбора.
Математической основой системного проектирования является схема последовательного анализа вариантов, которая позволяет решать многокритериальные задачи путем рассмотрения множества альтернативных вариантов в целях отбраковки худших до получения компромиссного варианта [5].
Таким образом, начинать проектирование любого телекоммуникационного комплекса приходится с формирования множества альтернативных вариантов проектных решений.
Математики нашли способ формализации формирования альтернативного множества лишь структур проектируемых систем. Швейцарский математик и астроном Ф. Цвикки опубликовал статью (1962), в которой изложил принципы морфологического анализа, позволяющего автоматически формировать альтернативные варианты структуры проектируемой системы.
Следовательно, особенностью «системного проектирования», позволяющей использовать морфологический анализ (его отличием от традиционного аналитического проектирования) является декомпозиция проектируемой системы на структуру, состоящую из ее функциональных элементов и межэлементных связей, и на параметры, представляющие внутреннее содержание системы.
Особенностью системного проектирования является также определение оптимального решения многоцелевой задачи – это такое решение, которое обеспечивает достаточно полное (компромиссное) достижение всех частных целей при заданном окружении (с учетом влияния окружающих объектов и среды).
Определение позволяет сформулировать первые три этапа системного проектирования, служащие исходными данными:
этап 1 – представление частных целей многомерной цели в виде совокупности функциональных требований, предъявляемых к проектируемой системе;
этап 2 – выбор характеристик, называемых показателями качества (ПК), которые позволяют количественно оценивать степень соответствия свойств альтернативных вариантов системы предъявляемых к ней требованиям;
этап 3 – классификация внешних связей проектируемой системы с окружающими объектами и внешней средой для формирования совокупности внешних условий (У) и ограничений, накладываемых на структур (Оs), на показатели качества (Ок) и на параметры (Оп).