7.1. Задачи

1. Построить все циклические коды на основе разложения двучлена Ниже приведены сомножители и последовательности степени их корней.

Сомножитель Степени корней

x+1 0=15

x⁴+x+1 1 2 4 8

x⁴+x³ +x² +x+1 3 6 9 12

x²+x+1 5 10

x⁴+x³ +1 7 11 13 14

2. Определить корректирующие свойства циклического (15,11) – кода

а) с g(x)=1+x+x⁴;

б) с g(x)=1+x³+x⁴;

в) с g(x)=1+x+x²+x³+x⁴.

3. Определить корректирующие свойства циклического (15,7) – кода

а) с g(x)=(1+x+x⁴)(1+x³+x⁴);

б) с g(x)=(1+x+x⁴)(1+x+x²+x³+x⁴)

в) с g(x)=(1+x³+x⁴)(1+x+x+x²+x³+x⁴)

4. Построить порождающую матрицу и матрицу проверок для укороченного циклического (10,5) – кода, полученного из (15,10) – кода с g(x)=(1+x)(1+x+x⁴).

Определить d_min (10,5) – кода.

5. Привести матрицу проверок H(7,4),построенную в примере 5.5 к канонической форме.

6. Показать, что поле GF(2³) с примитивным элементом α, являющимся корнем неприводимого многочлена π(x)=1+x+x³ , может быть представлено в следующем виде:

Степень	Многочлен	Вектор
0 1 α α2 α3 α4 α5 α6 α7=1	0 1 α α2 1 + α α + α2 1 + α + α2 1 + α2 1	000 100 010 001 110 011 111 101 100

7.2. Быстрое декодирование кодов БЧХ

1). Ключевое уравнение

Рассмотрим процедуру быстрого декодирования применительно к кодам Рида-Соломона (PC). Для этих кодов справедлива граница Синглтона:

n-k= d-1=2t,

где n-k — избыточность кодовой комбинации,

d - минимальное кодовое расстояние,

t - кратность гарантированно исправляемых ошибок.

Будем полагать, что код используется в режиме исправления ошибок. Пусть в приемник АПД поступила кодовая комбинация PC-кода

С(x)=f (x)+e(x),

где f(x) - переданная передатчиком АПД кодовая комбинация, в которой в процессе передачи по каналу связи произошло υ ошибок, отображаемых многочленом е(х). Здесь 0≤v≤t.

Многочлен ошибок можно представить в виде

e(x)=e_{i1 x}ⁱ¹ +e_i2xⁱ²+…+e_ivx^iv=∑e_ilx^il,

где e_il - значение ошибки, i_l - номер позиции кодовой комбинации, в которой произошла ошибка. Для исправления ошибок необходимо определить e_il и i_l. Это возможно выполнить на основе синдрома. Введем понятие синдромного многочлена:

S(x)=S₁x⁰+S₂x¹+…+S_n-k=2t^x2t-1 .

Коэффициенты Si определяются подстановкой в С(х) корней α^l порождающего многочлена кода PC.

S₁=C(x= α^l)=f(x= α^l)+е(х= α^l)=e(α^l),

где l≤l≤2t.

Теперь получим, S₁₌e₁αⁱ¹ +e₂αⁱ²+…+e_ivα^iv и т.д.

Для упрощения записи компонентов синдромного многочлена определим для всех l=1,...,v значения ошибки У_l= e_il ,и локаторы ошибок Х_l= a^il=l, где i_l=l - истинное положение l-й ошибки.

В этих новых обозначениях S₁ запишется в виде:

S₁=Y₁X₁+ Y₂X₂+…+ Y_yX_y.

Здесь Y_l и Х_l - элементы поля GF(q) над которым построен PC-код, а α - примитивный элемент этого поля. В результате получим следующую систему из 2t уравнений относительно υ неизвестных локаторов X₁,..., X_v и v неизвестных значений ошибок Y₁,...,Y_υ:

S₁=Y₁X₁+ Y₂X₂+…+ Y_vX_v,

S₂₌Y₁X₁²+ Y₂X₂²+…+ Y_vX_v²,

. . .

S_2t=Y₁X₁^2t+ Y₂X₂^2t+…+ Y_vX_v^2t.

В силу определения синдрома эта система уравнений должна иметь хотя бы одно решение. В теории кодирования доказано, что это решение единственно. Изложение известных алгоритмов поиска этого решения базируется на понятии ключевого уравнения.

Для его формирования вводятся еще два многочлена:

1. Многочлен локаторов ошибок

Λ(х)=1+ Λ₁х+Λ₂ х²+ Λ_vx^v, имеющий корни, обратные локаторам ошибок X_l^-1, l=1…,v. Это позволяет представить Λ(x) в следующем виде:

2. Многочлен значений ошибок. Он определяется через S(x) и Λ(х) в соответствии с видом введенного выше многочлена ошибок

Ω(x)=S(x)* Λ (x) (mod x^2t)

Выражение для Ω(х) определяет множества из 2t-v уравнений и называется ключевым уравнением, так как оно является ключом решения задачи декодирования.

Ключевое уравнение позволяет получить v уравнений для v неизвестных коэффициентов Λ(x). Эти уравнения являются линейными. Они могут быть решены обычными методами, либо с помощью итерационных процедур. После нахождения Λ(х) ключевое уравнение позволяет найти неизвестные компоненты многочлена е(х) и по ним переданную кодовую комбинацию f(x)=C(x)+e(x).

Из изложенного можно сделать вывод, что декодирование кодов БЧХ на основе решения ключевого уравнения распадается на два этапа.

I этап — вычисление многочлена локатора ошибок Λ(х). Для двоичных кодов БЧХ этим этапом декодирование завершается.

II этап - для недвоичных кодов, какими являются РС-коды, вычисление многочлена значений ошибок Ω(х), позволяющего вычислять значение каждой из υ ошибок в принятой комбинации.

Для нахождения многочлена локаторов ошибок из литературы известны три алгоритма:

1. Алгоритм Питерсона.

2 .Алгоритм Берлекемпа-Месси.

3- Алгоритм Евклида - алгоритм СКХН.

Авторы первого и второго алгоритмов указаны в их названии. Алгоритм Евклида для целей решения ключевого уравнения был впервые предложен четырьмя авторами: Сугияма, Касахара, Хирасава и Намекава. В дальнейшем для краткости будем называть алгоритмом Евклида.

Алгоритм Питерсона может быть использован как самостоятельная процедура декодирования недвоичных циклических кодов и на II этапе.

Алгоритм Берлекемпа-Месси и алгоритм Евклида на II этапе декодирования для недвоичных циклических кодов дополняют алгоритмом Форни, позволяющим по корням Λ (х) и многочлену Ω(x) найти значения ошибок. Сочетание алгоритма Берлекемпа-Месси и алгоритма Форни получило название быстрого декодирования кодов БЧХ.

Рассмотрим сущность изложенных алгоритмов декодирования

2). Решение ключевого уравнения

а). Алгоритм Питерсона.

У. Питерсон [1] представил ключевое уравнение в матричной форме:

Таким образом, задача определения коэффициентов многочлена локаторов ошибок сводится к прямому решению системы v линейных уравнений с v неизвестными.

б) Алгоритм Евклида.

Известно, что, если существует наибольший общий делитель d(x) двух многочленов а(х) и b(х), то существуют многочлены f(x) и g(x) такие, что справедливо: a(x)f{x)+b(x)g(x)=d(x).

Многочлен d(x) может быть найден по алгоритму Евклида, который состоит в последовательном делении с остатком а(х) на b(х), затем b(х) на первый остаток r₁(х), затем r₁(х) на второй остаток r₂(х) и т.д.

При декодировании кодов БЧХ интересуются не конечным результатом алгоритма Евклида, а промежуточными результатами, которые можно представить в виде: a(x)f(x)+b(x)g(x)=r(x).

У. Сугияма и его соавторы [3] использовали этот результат для решения ключевого уравнения следующим образом: b(x)g(x)= r_i(x) (mod a(x)), полагая,

а(х)=х^2t, b(x)=S(x), g_l(x)=Λ_i(x), r_i(x)=Ω_i(x).

При этом используется свойство алгоритма Евклида:

deg[g_i(x)]+deg[r_i-l(x)]=deg[a(x)].

Если а(х)=х^2t, то deg[Λ_i(x)]+deg[Ω_i-_l(x))=2t,

deg[Λ_i(x)]+deg[Ω_i(x))<2t.

При появлении v≤t ошибок имеем: deg[Ω(x)]< deg[Λ (x)] ≤t.

Существует единственный с точностью до постоянного множителя (элемента поля) многочлен Λ(х) степени ≤t, удовлетворяющий уравнению:

Ω_i(x) =S(x) Λ_i(x) (mod x^2t),

если deg[Ω_i-1(x)]≥t при deg[Λ_i(x)]≤t

и deg[Ω_i(x)]<t при deg[Λ_i+1,(x)]>t.

Поэтому промежуточные результаты на I-ом шаге дают единственное интересующее нас решение ключевого уравнения.

Таким образом, для решения ключевого уравнения следует применять алгоритм Евклида до тех пор, пока не будет выполнено условие

deg[Ω_i(x)]<t.

Итак, алгоритм Евклида решения ключевого уравнения по методу У. Сугиямы и др. сводится к следующему:

1. Применить алгоритм Евклида к а(х)=х^2t и b(x)=S(x).

2. Использовать начальные условия:

Λ_-1(х)=0,

Λ₀(х)=1,

Ω_-1(x)=x^2t,

Ω₀(x)=S(x).

3. Остановиться, если deg[Ω_i(x)]<t.

4. Положить Λ(х)= Λ_i(x) и Ω(x)= Ω_i(x).

При вычислении значений Λ_i(x) и Ω_i(x) следует использовать свойство алгоритма Евклида: каждое из значений Λ_i(x) и Ω_i(x) получается из двух предшествующих значений по следующей общей формуле:

E_i(x)=E_i-2(x)+q_iE_i-1(x),где

от деления указанных многочленов т,е. многочлен степени 0 и более.

3) Алгоритм Берлекемпа-Месси.

Этот алгоритм был предложен Э. Берлекемпом и Дж. Месси[4] как итеративный процесс построения минимального линейного регистра сдвига с обратной связью, аналогичного схеме решения разностных уравнений, генерирующего все компоненты синдромного многочлена S(x) no υ первым.

Целью алгоритма является нахождение коэффициентов многочлена локаторов ошибок Λ(х)_, значение которых определяет вид обратных связей регистра.

На рис.7.1 представлен доработанный алгоритм, позволяющий кроме А(х) получать также и многочлен значений ошибок и Ω(x).

Рис.7.1 Алгоритм Берлекемпа-Месси.

г) Алгоритм Форни.

Д. Форни[4] получил выражение для вычисления значения ошибки, если известны многочлены значения ошибки Ω(x) и локаторов ошибок Λ(х):

Где Х_l^-1- корень многочлена Λ(х), обратный локатору ошибки Х_l, Λ^l(Х ) –производная от Λ(x).

В. Примеры решения ключевого уравнения

Рассмотрим примеры применения рассмотренных алгоритмов для декодирования с исправлением ошибок кодами Рида-Соломона.

Пусть над полем GF(2³) с элементами 000, α=1=100, α¹=010, α²=001,

α³=110_, α⁴=011, α⁵=111, α⁶=101 построен код Рида-Соломона (7,3) с d_min=5, способный исправлять 2-х кратные ошибки. Корнями порождающего многочлена являются следующие элементы GF(2³): α¹=010, α²=110,α³=110,α⁴=011.. Порождающий многочлен кода имеет вид;

g(x)=(x+α)(x+α²)(x+α³)(x+α⁴)=α³+α¹x+α⁰x²+α³x³+x⁴

Предположим, что по каналу связи была передана комбинация (0000000),а на вход декодера поступила комбинация. f(x)=а²х³+а⁵х⁴. Схема вычисления синдрома определила компоненты синдромного многочлена:

S₁=f(x=α)=α⁵+α²=α³

S₂=f(x=α²)=α¹+α⁶=α⁵

S₃=f(x=α³)=α⁴+α³=α⁶

S₄=f(x=α⁴)=α⁰+α⁰=0

При вычислении значений элементов S_i, показатели степеней элементов поля приводятся по mod 7, т.к. для GF(2³) а=а⁷=1. Итак, для принятой комбинации синдромный многочлен имеет вид:

S(x)=α³+α⁵x+α⁶x²

Определим для принятой комбинации многочлен локаторов ошибок Λ(х).

Алгоритм Питерсона. Матричное уравнение для нахождения компонентов Λ(х) по S(х) имеет вид:

В предложении, что произошло максимальное число исправляемых кодом ошибок t=2 воспользуемся теоремой Крамера [5] для решения системы линейных уравнений, представленных в матричной форме Ах=С, в случае, когда det А существует и отличен от нуля, В этом случае система имеет одно определенное решение , и каждое из неизвестных выражается частным двух определителей, причем в знаменателе стоит определитель |А|, а в числителе, определитель который из него получается заменой коэффициентов при определяемом неизвестном соответствующими свободными членами:

Применяя теорему Крамера для нахождения λi получаем:

Таким образом, многочлен локаторов ошибок имеет вид:

Λ(x)=1+α⁶x+α⁰x²

Корнями многочлена Λ{х) являются элементы GF(2³): α³ и α⁴, т.е. локаторы ошибок

Это дает возможность представить многочлен локаторов ошибок и виде;

Λ(х)=(1+α³х)(1+α⁴х)\

Алгоритм Питерсона позволяет найти также и значения ошибок. Для этого выразим компоненты синдромного многочлена S₁ и S₂ через локаторы ошибок X_l, и значения ошибок Y_l:

S₁=Y₁X₁ + Y₂X₂

S₂=Y₁X₁² + Y₂X₂

Представим эти уравнения в матричной форме:

или

Решим это уравнение тем же способом, каким были найдены λ₁ λ₂ .Вычислим определитель:

Теперь находим:

=α(α⁴+α²)=α⁵+α³=α² ,

=α(α+α²)=α²+α³=α⁵

Полученные значения Y₁ и Y₂ соответствуют коэффициентам многочлена ошибок.

2.Алгоритм Евклида

Поиск значений Λ_i(x) в Ω_i(x), удовлетворяющих приведенным выше критериям, представим в виде таблицы.

i	-1	0	1
Λi(x)	0	1	α+х+αx2=α(1+α6x+x2)
Ωi(x)	х4	S(x)	α 4+α 4х=α(α3+α3х)
qi(x)	___	___	[X4 /S(x)]=α+x+αx2

Из приведенной таблицы видно, что найденное значение Λ(х)=α(1+ α⁶x+x²) отличается от Λ (х), подученного по алгоритму Питерсона постоянным сомножителем α. Понятно, что корни этих многочленов совпадают, т,е, постоянный сомножитель не влияет на определение локаторов ошибок.

3, Алгоритм Берлекемпа-Месси. Вычисление Λ(х) и Ω(x) в соответствии с доработанным алгоритмом Берлекемпа-Месси представим ввиде следующей таблицы:

r	Sr	Δr	M(x)	B(x)	Λ(x)	L	Ω(x)	A(x)
0				1	1	0	0	1
1	α3	Α3	1+α3x	α4	1+α3x	1	α3	0
2	α5	Α	1+α2x	a4x	1+α2x	1	α3	0
3	α6	Α2	1+α2x+α6x	α5+x	1+α2x+a6x2	2	α3	αx
4	0	Α2	1+α6x+x2	α5x+x2	1+α6x+x2	2	α3+ α3x	αx

Найденному значению Λ(х) соответствует регистр сдвига с обратными связями, определенными Λ(х), длины L=2, способный вычислять лее компоненты симдромного многочлена по 2-м младшим.

Этот регистр имеет вид:

В исходном состоянии в ячейках памяти регистра записаны компоненты синдрома S₁₌α³ и S₂=α⁵. По второму такту S₂=α⁵ поступает на выход, а в ячейках остаются S₃=α⁶ и S₄=0, которые за два следующих такта поступают на выход.

4. Алгоритм Форни.

Для вычисления значений ошибок необходимо знание Λ(х) и его корней, а также должен быть известен многочлен Ω(x). Непосредственным вычислением находим: ■

Ω(x)=S(x)Λ(x)(modx^2t)=(α³+α⁵x+а⁶х²)(1+α⁶x+x²)(modx⁴)=α³+α³х. Расчетные значения Λ(х) и Ω(x) полностью совпадают с полученными по алгоритму Берлекемпа-Месси и отличаются постоянным сомножителем при вычислении по алгоритму Евклида.

Для нахождения значений ошибок по алгоритму Форни найдем Λ (х)=а⁶. Подставляя в Ω(х) вместо x значения корней Λ(x)получаем:

Итак,вычисленное значение многочлена ошибок е(х)= α²x³+α⁵x⁴ полностью совпадает с принятой комбинацией f(х) и, следовательно, по каналу связи передавалась комбинация (0000000).