5.3.1. Моделювання процесу забруднення проточної водойми

Більшість домішок поступають із стічними водами в річки - проточні водойми. Отримання інформації про зміну якості такої водойми - питання першорядної ваги при ухваленні рішення про засоби захисту водойми. Якість водойми, що піддається антропогенному навантаженню залежить від його розбавляючої і самоочищуваної здатності. Розбавлення стічних вод у водоймищі є складним і в недостатньому ступені вивченим процесом. Розбавлення залежить від властивостей і кількості домішки, витрати води у водоймищі, особливостей русла і течії, температурного і вітрового режиму і ін. чинників. Питання змішення і розбавлення стічних вод розробляються за допомогою математичних моделей на основі балансових і гідродинамічних уявлень. Нижче розглядується модель, що встановлює взаємозв'язок між витратою і концентрацією стічної води, що поступає в проточне водоймище, а також між концентрацією домішок у водоймищі і характером і рівнем наслідків, виражених у вигляді економічного збитку [13].

Вважаючи, що домішка розподіляється у водоймищі рівномірно, можна отримати співвідношення, що зв'язує швидкість збільшення концентрації домішки у водоймищі, притоку домішки із стічною водою і вимивання домішки з проточного водоймища

(5.5)

де V_в , м³ – об'єм ділянки водоймища; с_в, мг/м³ – концентрація домішки у водоймищі; М, м³/год – витрата стічної води; с, мг/м³ - концентрація домішки в стічній воді; М_в, м³/год – витрата розбавляючої чистої води, що поступає у водоймище; , год. – час.

Позначимо: - час водообміну на ділянці водоймища і приймаємо надалі за основний масштаб часу; і запишемо

(5.6)

Загальний характер розвитку екологічних наслідків (збитку від забруднення) може бути описаний диференціальним рівнянням

(5.7)

де - збиток з розрахунку на 1 м³ розбавленого стоку, визначуваний залежно від поточного часу і часу запізнювання у появі негативних наслідків, що відображає латентні процеси в отруєнні флори і фауни, компенсаторні можливості біоценозів, час проходження трофічних ланцюгів тощо; , год. – час інерційності в розвитку негативних наслідків забруднення водоймища, що відображає опір, демпфуючу здатність біоценозі; - коефіцієнт, що характеризує нахил дотичної до кривої, що описує залежність екологічних наслідків від концентрації домішки.

Таким чином, процес забруднення проточного водоймища з урахуванням його динамічних характеристик , що відображають здібність до самоочищення, може бути описаний системою диференціальних рівнянь

(5.8)

Вирішення системи рівнянь (5.8)

Розділимо змінні в другому рівнянні системи (5.8):

звідки, інтегруючи від 0 до с_в і від 0 до , отримуємо:

Підставляємо набутого значення с_в у перше рівняння системи (5.8) і перетворивши його отримуємо:

(5.9)

Вирішуємо однорідне рівняння:

Звідки

(5.10)

Диференціюємо (5.10) по :

. (5.11)

Підставляємо dy/d і у у співвідношення (5.9) і отримуємо після перетворення і скорочення подібні

(5.12)

Інтегруємо і визначаємо 

Тоді із співвідношення (5.10) виходить

(5.13)

Постійну інтеграції  визначаємо з умови у₀=0 при _Z:

Співвідношення для збитку тоді має вигляд

(5.14)

Ми отримали рівняння, що описує розвиток наслідків забруднення водоймища залежно від його динамічних характеристик. Коефіцієнт  зважає на специфіку домішки. При нульовому запізнюванні (_Z=0) співвідношення (5.14) приймає вигляд:

(5.15)

При _Z=0 і _e = _r співвідношення (5.14) приймає вигляд:

(5.16)