Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный исследовательский томский политехнический университет

Институт/ Факультет – ЭНИН

Направление – Энергетическое машиностроение

Кафедра – ПГС и ПГУ

Численное моделирование топочных процессов с использованием метода Рунге-Кутта

Отчет по лабораторной работе №3

по дисциплине « Моделирование физических процессов»

Выполнил студент гр.5В02 ______ _________ И.Е.Корзилова

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Проверил доцент кафедры ПГС ________ _______ А. Н. Субботин

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Томск – 2013

1. Общие сведения

Уравнения, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях науки и техники. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации, очевидно, встречаются весьма часто. Пусть мы имеем систему обыкновенных уравнений (ОДУ):

(1)

где

n-порядок системы ОДУ.

Вместе с начальными условиями

(2)

Эта задача называется задачей Коши (задача определения для будущих значений ).

Лишь немногие дифференциальные уравнения могут быть решены точно и поэтому обычно необходимо приближать решения численными методами. Будем пользоваться для решения системы ОДУ пошаговыми (разностными) методами. Примером одношагового метода является метод Эйлера.

2. Метод Эйлера решения систем оду

Уравнение для метода Эйлера запишется следующим образом:

Y(t₀+h)=Y₀+h·f(t₀,Y₀). (3)

Оно получено путем разложения в ряд Тейлора функции Y(t) в окрестности точки и в точке ограничим малым значением шага h с обоих сторон:

Y(t₀+h)=Y₀+h·Y'(t₀)+O(h²),

где О(h²) - бесконечно малая величина порядка h².

Y'(t₀)=f(Y₀,t₀).

Приближенное решение в точке t₁=t₀+h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (3) найти значение искомой функции в следующей точке t₂=t₁+h.

Величина шага h подбирается опытным путем следующим образом. Делается несколько пробных запусков программы со значениями h₁>h₂>…>h_k. Если получаемые при этом значения будут слабо зависеть от h_k, то это значение можно взять в качестве базового и дальнейшие расчеты проводить при h=h_k. Для того, чтобы вести расчет с относительно большим шагом по времени, необходимо использовать схемы с более высоким порядком точности.

Метод Эйлера имеет первый порядок точности, поэтому при его использовании нужно быть осторожным, особенно при выборе величины шага интегрирования.

Фундаментальным понятием при оценке точности численного метода является его порядок.

Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ. Это возможно при использовании метода Рунге-Кутта

Основная идея методов Рунге-Кутта заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функций в точках на интервале [t, t₀+h], которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора.

После аппроксимации производных правых частей системы ОДУ (1) получается семейство схем Рунге-Кутга четвертого порядка, из которых наиболее используемой в вычислительной практике является следующая:

(4)

где

Схема (4) на каждом шаге h требует вычисления правой части ОДУ в четырех точках.

Рассмотрим тестовую задачу:

с начальными условиями:

Аналитическое условие задачи (10) есть:

При t=3 из аналитического условия получаем

Решим тестовую задачу с помощью программного обеспечения Pascal.