Замечания

1) Уравнение можно записать в виде и искать такие значения , при которых делится на . Для этого необходимо рассмотреть 10 классов, на которые можно разбить множество целых чисел , что требует больших затрат времени. Таким образом, решение линейного уравнения в целых числах будет короче, если на первом шаге из него выразить неизвестное с меньшим коэффициентом.

2) Если в уравнении с целыми коэффициентами числа и имеют общий делитель, отличный от единицы, который не является делителем числа , то уравнение не имеет решений в целых числах.

3) Существуют и другие способы решения уравнения с двумя неизвестными в целых числах. Мы на них не останавливаемся.

Подведем итог решению задач 3 - 7. Пусть требуется решить уравнение, равносильное совокупности или системе двух уравнений (среди знаков равенств могут быть и зачеркнутые) с одним неизвестным. Корни первого уравнения записаны с параметром , второго – с параметром . Выделим последовательность действий при отборе корней алгебраическим способом на основе решения одного уравнения с двумя неизвестными:

1. Приравнять выражения для корней первого и второго уравнений.

2. Решить в целых числах полученное уравнение с неизвестными и : найти значения и как функции некоторого параметра.

3) Записать ответ:

а) если решается система уравнений и знак равенства, например, во втором уравнении, зачеркнут, то нужно записать ответ первого уравнения и исключить те значения , которые являются решениями уравнения с двумя неизвестными (полученными в п. 2));

б) если решается система уравнений, среди которых нет уравнений с зачеркнутым знаком равенства, то нужно записать ответ первого (или второго) уравнения для тех значений (соответственно ), которые получены в пункте 2);

в) если решается совокупность уравнений, то нужно записать в ответе корни и первого, и второго уравнений и исключить либо значения , либо значения , полученные в п.2.

Отбор корней приходится осуществлять и в тех случаях, когда требуется найти корни, удовлетворяющие заданному условию.

Задача 8. Найти корни уравнения а) принадлежащие отрезку ; б) являющиеся решениями неравенства

Решение.

а) Решить данную задачу – значит решить систему

состоящую из уравнения и двойного неравенства.

Решим сначала уравнение:

Так как с корнями уравнения предстоит еще работать, то они записаны двумя сериями.

Далее заменим систему уравнений равносильной ей совокупностью двух систем:

или

При решении систем можно использовать разные способы.

Способ 1. Перебирая значения из множества целых чисел согласно здравому смыслу и пользуясь монотонностью функции , отобрать те значения (корни), для которых выполняется заданное условие. При этом если условие определяется каким-либо промежутком для , то его часто бывает удобно изобразить на числовой оси или числовой окружности.

Так здравый смысл подсказывает, что в данных системах удобно начать перебор с

Для первой системы имеем:

если то

если то

если то

Поскольку функция возрастает, то при получаем , если же , то .

Таким образом, из первой серии корней только значение удовлетворяет заданному условию.

Проводя аналогичные рассуждения для второй системы, находим еще два подходящих корня: и .

Способ 2. В неравенство вместо подставить его выражение через (корни) и решить полученное неравенство относительно , При найденных подсчитать значения .

Для данных систем получим следующие решения:

б) Решение задачи состоит в решении системы

которая приводится к виду

Подставлять далее в неравенство вместо выражения для корней нецелесообразно, т.к. получаются двойные неравенства с двумя неизвестными. Поэтому будем искать отрезок, определяющий интервал – образец в расположении корней уравнения и решений неравенства.

Любые два соседних корня как в первой, так и во второй сериях отличаются на . Два соседних множества решений неравенства отличаются на . Следовательно, отрезок – образец в расположении корней и решений имеет длину .

Так как решения неравенства повторяются через , то на отрезке длиной расположатся два интервала – множества решений неравенства. Получим их, например, при и : и .

Теперь можно найти корни уравнения, принадлежащие выбранным промежуткам, так же, как в задаче 8, а. Это можно сделать и геометрически с помощью числовой окружности или числовой прямой. Решение на основе числовой окружности показано на рисунке 12.

Видим, что требованию задачи отвечает только один корень .

Чтобы получить все корни, удовлетворяющие требованию задачи, прибавим , , и получим ответ

Ответ. а) ; ; ; б)

На основе задачи 8, б выделим последовательность действий при решении системы, состоящей из тригонометрического уравнения и тригонометрического неравенства с одним неизвестным:

1. Решить уравнение и неравенство системы.

2. Найти длину отрезка – образца (см. п. 1 в последовательности действий при отборе корней с помощью числовой прямой).

3. Найти на отрезке длины промежутки – решения неравенства.

4. Найти корни уравнения, принадлежащие выделенным промежуткам (см. способы 1 и 2, описанные при решении задачи 8, а, или геометрически).

5. Записать ответ: к каждому из найденных в п. 4 корней прибавить

Анализ рассмотренных примеров позволяет сделать следующие выводы.

Процесс решения систем простейших уравнений и неравенств, совокупностей уравнений есть по сути дела отбор корней – значений неизвестного, удовлетворяющих условиям, заданным в системе или совокупности. Отбор может осуществляться либо геометрическим, либо алгебраическим способом.

Геометрический способ основан на отыскании длины отрезка – образца в расположении корней уравнений или решений неравенств, и на выборе этого отрезка и отборе корней на нем.

Алгебраический способ осуществляется на основе разбиения множества целых чисел на классы по остаткам от деления целых чисел на некоторое натуральное число, на решении в целых числах линейного уравнения с двумя неизвестными, на решении линейных неравенств.

В пункте выделены последовательности действий при каждом из перечисленных здесь способе отбора корней (решения систем и совокупностей).

При решении уравнения отбор корней приходится осуществлять в случаях, когда оно равносильно системе уравнений и неравенств или совокупности уравнений. Например,

- если областью определения уравнения служит не все множество действительных чисел (неизвестное содержится в знаменателе дроби, присутствует тангенс и (или) котангенс, в комбинированных уравнениях тригонометрическое выражение содержится под корнем четной степени или под знаком логарифма и т.д.);

- левая часть уравнения представляет собою произведение нескольких множителей, зависящих от ;

- требуется найти корни, удовлетворяющие некоторому заданному условию.

Приведенные здесь и другие ситуации будут встречаться в последующих пунктах и при выполнении упражнений.

Решите уравнение (неравенство):

119. а) б) в)

121. а) б) в)

Решите уравнение:

130.