Алгебраический способ

Вернемся к системе в задаче 3. Она равносильна совокупности двух систем:

Чтобы решить первую систему, нужно из множества чисел , исключить числа . Это означает, что нужно найти такие значения , при которых выражения и равны, и изъять их. Другими словами, нужно решить уравнение , где ,

и найденные значения исключить из множества целых чисел в выражении .

Как видим, у нас уравнение одно, а неизвестных два - и . Такое уравнение имеет бесконечное множество решений. Помним, что нас интересуют только целые значения и . После несложных упрощений получим уравнение . Это означает, что каждому целому значению соответствует целое значение . Числа вида и нужно исключить из множества целых значений .

Таким образом, для первой системы получаем:

Решая аналогично вторую систему, находим

Ответ.

Задача 4. Решить алгебраическим способом следующие системы и совокупность:

Решение. Используем результаты, полученные в процессе решения задачи 3.

а) Данная система равносильна системе алгебраических уравнений

Равенства ,

выполняются при и соответственно. Следовательно, множества чисел и входят в множество чисел Значит, система не имеет решения.

б) Система тригонометрических уравнений равносильна системе алгебраических уравнений

Корни уравнений и совпадают при , а уравнений и - при .

Если , то

Если , то

Следовательно, и есть решение системы.

в) Заданная совокупность уравнений равносильна совокупности трех алгебраических уравнений - . Множества и , являются подмножествами множества чисел Следовательно, есть решение совокупности.

Ответ. а) нет решения; б) ; в)

В задачах 3 и 4 каждое из уравнений с двумя неизвестными с целыми коэффициентами решалось в целых числах довольно легко, т.к. одно неизвестное сразу выражалось через другое ( и ). Так бывает не всегда. Рассмотрим другие примеры.

Задача 5. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Решим ее:

Решим систему (произведем отбор корней) алгебраическим способом. Для этого приравняем выражения для из системы и упростим полученное уравнение:

Теперь нужно найти такие значения , при которых число делится на . Делимость числа на зависит от делимости числа на . Множество целых чисел по отношению к числу по остаткам от деления целого числа на можно разбить на три класса – множества чисел, записанных по формулам: . Рассмотрим каждое из этих множеств.

Если то - не делится на .

Если то - делится на , , .

Если то - не делится на .

Итак, для любого целого числа существует пара целых чисел: , которая является решением уравнения , т.е. решением уравнения Нам нужно чтобы равенство не имело места. Значит, значения , нужно исключить из множества . Получим ответ:

Задача 6. Решить системы:

Решение. Правые части равенств совпадают при , Значит, , есть решение системы.

Правые части равенств совпадают при , Значит, , т.е. , есть решение системы.

Ответ. ; .

Задача 7. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности

Следовательно решением уравнения является объединение двух множеств корней При корни совпадают. Так, если то Эти же числа являются и корнями второго уравнения при Чтобы каждый корень уравнения был записан в ответе только один раз, нужно исключить общие корни либо из первого, либо из второго множества.

Ответ. (или

).