Геометрический способ

На числовой окружности точка, соответствующая числу , соответствует также числам , , , , … Из этих чисел какие-то являются решениями уравнения, а какие-то следует исключить. Значит, точки, соответствующие разным числам, требуется развести. Поэтому используем числовую прямую (рис. 11).

Отметим на ней точками корни первого уравнения и крестиками корни второго уравнения.

Замечаем, что на числовой оси можно выделить два полуинтервала - и с одинаковым расположением корней. Корни на втором полуинтервале получаются из корней, расположенных на первом полуинтервале, прибавлением числа .

Очевидно, что таким же будет расположение корней на всех других полуинтервалах, которые получаются из полуинтервала прибавлением , т.е. на полуинтервалах . Корни на них получаются из корней полуинтервала прибавлением числа . Можно сказать, что полуинтервал есть полуинтервал – образец в расположении корней. (Образцом является и полуинтервал и, вообще, любой полуинтервал, имеющий длину , если присоединить к нему (в данном случае) правый конец).

Теперь действуем по аналогии с отбором корней на числовой окружности: на полуинтервале выделим числа, которые отмечены только точками. Таких чисел четыре: . Они и являются корнями уравнения (решениями системы) на полуинтервале . Тогда решения на всей числовой оси можно записать в виде: .

Корни и можно представить одной формулой: . Чтобы показать, что корни каждой из серий не зависят от корней других серий, можно (но совсем необязательно) обозначить множители у числа разными буквами. Окончательно ответ выглядит так:

; ; .

Итак, мы применили геометрический способ отбора корней. Однако нам пришлось использовать не числовую окружность, а числовую ось, так как на окружности мы не смогли создать картину распределения корней уравнений.

Трудность в применении этого способа отбора корней состоит в нахождении длины отрезка, определяющего полуинтервал – образец. Назовем его отрезок – образец. В рассматриваемом примере длина этого отрезка равна . Установим, как можно было ее найти, не отмечая лишних точек на числовой прямой для выявления закономерности.

Соседние корни первого уравнения отличаются друг от друга на , второго – на . Если корень первого уравнения совпадает с корнем второго, то следующее совпадение будет тогда, когда к корню прибавляется наименьшее число, которое делится нацело и на , и на . Найти это число – значит найти наименьшие натуральные значения и , при которых выполняется равенство , т.е. равенство . Такими значениями являются . Тогда - искомая длина. Фактически - наименьшее общее кратное периодов функций и .

Таким образом, при отборе корней можно было сразу взять какой-нибудь отрезок длины (например, или или , обычно выбирается ближайший к началу отсчета), исключить один из его концов, сделать отбор корней на полученном полуинтервале по аналогии с тем, как это делали на числовой окружности, и к каждому из корней прибавить .

Итак, пусть требуется решить уравнение, равносильное совокупности или системе двух уравнений (среди знаков равенств могут быть и зачеркнутые) с одним неизвестным. Корни первого уравнения записаны с параметром , второго – с параметром . Выделим последовательность действий при отборе корней с помощью числовой прямой:

1) Найти длину отрезка – образца. Для этого

а) в выражениях для корней приравнять слагаемые, содержащие и ;

б) найти наименьшие натуральные значения и , при которых выполняется полученное равенство;

в) подсчитать значение слагаемого, содержащего множитель (или ) при найденном значении ( ); получится значение .

2) Построить на числовой прямой отрезок длины (например, так, что один его конец или середина совпадает с началом отсчета), исключить один из его концов.

3) Отметить на построенном полуинтервале разными способами числа – корни первого и второго уравнений.

4) Среди отмеченных выделить числа, отвечающие требованиям задачи (см. п. 4 в геометрическом способе отбора корней с помощью числовой окружности).

5) Записать ответ: к каждому из корней, принадлежащих полуитервалу – образцу, прибавить .

Заметим, что при геометрическом способе отбора корней целесообразно всегда начинать с нахождения длины отрезка – образца. Это дает возможность установить какую геометрическую модель необходимо использовать: если делится нацело на длину отрезка – образца, то можно использовать как числовую окружность, так и числовую прямую; во всех остальных случаях можно использовать только числовую прямую.