Отбор корней
Геометрический способ |
Алгебраический способ |
Отметим на числовой окружности, например, точками числа, которые являются корнями первого уравнения. Отметим, например, крестиками (точками другого цвета) корни другого уравнения (рис. 10)
Выберем числа, которые отмечены только точками. Ответ можно записать разными способами:
либо
Ответ.
|
В
первом уравнении системы под буквой
в
умножается на дробное число
Если
Если
Если
Никакие другие случаи здесь невозможны.
Итак,
решением системы являются числа
Ответ. , , , .
|
.
.
,
во втором – на целое число
.
Из рассмотрения нужно исключить такие
значения
,
при которых
является целым числом.
,
то
- целое число.
,
то
- не является целым числом.
,
то
- не является целым числом.
,
где
,
,
.Как видим, формы ответов получились разные, но очевидно, что корни уравнения одни и те же при любом способе отбора.
Уравнение равносильно системе которая, в свою очередь, равносильна системе
Отбор корней
Геометрический способ |
Алгебраический способ |
Первые два шага здесь те же, что и при решении первого уравнения (см. рис. 10). На последнем шаге нужно выбрать числа, которые отмечены только вторым способом (у нас крестиками). Таких чисел нет. |
Так
как при
,
,
число
- целое, то множество чисел
|
Ответ. Уравнение не имеет корней.
|
|
,
,
есть подмножество множества чисел
,
.
Система, а значит и уравнение, не имеет
решений.Уравнение равносильно совокупности уравнений т.Е. Совокупности уравнений
Отбор корней
Геометрический способ |
Алгебраический способ |
Первые два шага здесь те же, что и при решении первых двух уравнений. На последнем шаге нужно выбрать числа, которые отмечены хотя бы один раз (либо точкой, либо крестиком, либо и точкой и крестиком). |
Так как множество чисел , , входит в множество чисел , , то множество , исчерпывает множество всех корней уравнения. |
Ответ. . |
Ответ. . |
Задача
2. Решить
систему уравнений
Решение.
Данная система
равносильна системе
Далее, как в задаче 1, отмечаем на числовой окружности разными способами корни первого и второго уравнений (рис. 10), и выделяем числа, отмеченные дважды – и тем, и другим способами.
Ответ.
На основе задач 1 и 2 проследим последовательность действий при геометрическом способе решения совокупности или системы двух простейших тригонометрических уравнений (уравнения и уравнения с зачеркнутым знаком равенства) с одним неизвестным с помощью числовой окружности:
1) Изобразить числовую окружность.
2) Отметить на ней каким-нибудь способом (например, точками) числа, являющиеся корнями первого уравнения.
3) Другим способом (крестиками, кружками, точками другого цвета) отметить числа – корни второго уравнения.
4) Среди отмеченных выделить числа, отвечающие требованию задачи:
а) если решается система уравнений и в одном из них знак равенства зачеркнут, то выделить числа, отмеченные только знаками корней уравнения с незачеркнутым знаком равенства;
б) если не в одном из уравнений системы знак равенства не зачеркнут, то выделить числа, отмеченные дважды – знаками корней и первого, и второго уравнений;
в) если решается совокупность двух уравнений, то выделить числа, отмеченные хотя бы одним способом.
5) Записать ответ.
Используя числовую окружность, можно решить не любую систему или совокупность уравнений с одним неизвестным. Поэтому необходимо искать и другие способы решения (отбора корней). Снова обратимся к примеру.
Задача
3. Решить
уравнение
Решение.
Данное
уравнение равносильно системе
Решая каждое уравнение, получим систему алгебраических уравнений:
Решим полученную систему, т.е. осуществим отбор корней.