«Тригонометрические уравнения и неравенства»
3.1 Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
Уравнение (неравенство), в котором неизвестное находится под знаком синуса, косинуса, тангенса и (или) котангенса, называется тригонометрическим уравнением (неравенством).
Процесс решения тригонометрического уравнения состоит в последовательной замене данного уравнения равносильными ему либо уравнением, либо системой, либо совокупностью уравнений с одним неизвестным.
При решении неравенств, как правило, используются два метода. Один из них состоит в переходе от неравенства к равносильным ему неравенству, системе или совокупности неравенств с одним неизвестным и получении простейших неравенств. Второй именуется методом интервалов и, как часть, включает в себя решение простейших уравнений.
Таким образом, решение любого тригонометрического уравнения или неравенства сводится к решению простейших уравнений, неравенств, их систем и совокупностей относительно одного неизвестного.
К простейшим относятся тригонометрические уравнения и неравенства вида
,
,
,
где
есть синус, косинус, тангенс или котангенс.
Их решение основано на соответствующих
определениях.
Процесс решения простейших уравнений и неравенств и запись ответов отражены в таблицах, приведенных в приложениях 5 – 8.
К числу более сложных простейших уравнений и неравенств относятся простейшие с усложненным аргументом, т.е. уравнения и неравенства вида
,
,
,
где
есть синус, косинус, тангенс или котангенс,
а
- функция любого вида.
Очевидно, что такие уравнения и неравенства решаются как простейшие, но сначала находится , а затем решаются уравнения и неравенства вида
,
,
,
(в соответствии с заданными неравенствами производные неравенства могут быть и нестрогими).
Если в тригонометрическом
уравнении или неравенстве с левой частью
функция
не линейная, то решение предполагает
исследование. В таком случае получаем
уравнение или неравенство с параметром.
Параметром, как правило, является число
(например,
)
из множества целых чисел. Значения
,
дающие решения, находятся либо перебором,
либо решением неравенства.
3.2. Решение систем и совокупностей простейших уравнений и неравенств с одним неизвестным (Отбор корней при решении тригонометрических уравнений)
Существуют
тригонометрические уравнения, в процессе
решения которых приходится осуществлять
отбор корней. По своей сути отбор корней
равносилен решению системы или
совокупности, в которые могут входить
уравнения и неравенства. При этом под
неравенством имеется в виду два выражения,
соединенные одним из знаков
,
,
,
,
.
Два выражения, соединенные знаком
,
в дальнейшем будем называть «уравнение
с зачеркнутым знаком равенства».
В практике решения уравнений используются два способа отбора корней: геометрический и алгебраический. Геометрический способ основан на понятиях числовой окружности и числовой прямой. Алгебраический – либо на разбиении множества целых чисел на классы относительно натурального числа – по остаткам, которые могут получиться от деления целого числа на данное натуральное число, либо – на решении в целых числах одного уравнения с двумя неизвестными (на решении диофантовых уравнений). Мы будем использовать разбиение множества на подмножества.
Например, при
делении целого числа на
могут получиться остатки
.
Тогда множество всех целых чисел,
делящихся на
без остатка и дающих в остатке
и
,
можно записать в виде соответственно
,
,
,
,
,
.
Полученные три
множества не пусты, не пересекаются
попарно и их объединение составляет
множество целых чисел
.
Такие разбиения
множества целых чисел легко получить
по отношению к любому натуральному
числу. Для натурального числа
подмножеств в разбиении будет
.
Рассмотрим на примерах несложных уравнений ситуации, в которых приходится осуществлять отбор корней, и способы отбора корней.
Задача
1. Решить
уравнения 1)
;
2)
;
3)
.
Решение.
Уравнение равносильно системе
Решим каждое тригонометрическое уравнение системы и получим систему алгебраических уравнений:
а)
б)
в)
Замечания.
1.
Несмотря на
то, что во втором уравнении равенство
зачеркнуто, решаем сначала уравнение
и только в системе записываем, чему не
равен
.
2. Множители у числа
разные в уравнениях а и б, т.к. это два
независимых друг от друга уравнения.
Теперь нужно из
чисел вида
,
выбрать те, которые не совпадают с
числами, представимыми в виде