1.13. Корневые показатели качества
Корневые показатели качества позволяют оценить запас устойчивости систем управления по распределению корней характеристического управления.
Реально работающие системы должны быть не только устойчивыми, но и обладать определенным запасом устойчивости, т.е. возникающие в них переходные процессы должны затухать достаточно интенсивно.
Переходные процессы в системе определяются суммой компонент, каждая из которых соответствует своему корню характеристического уравнения.
Действительные
корни вида –
определяют
компоненту
;
чисто мнимые
;
комплексные
.
Уменьшение
каждой следующей амплитуды колебания
по сравнению с предыдущей
оценивает интенсивность затухания
колебаний.
Степень
затухания колебания (затухание за
период) (
)
– отношение изменения амплитуды
колебания, выраженное в относительных
единицах:
.
Замечание:
Степень затухания в литературе
обозначаеются по-разному. Возможное
обозначение
.
Степенью
устойчивости (
)
называют расстояние от мнимой оси до
ближайшего действительного корня или
ближайшей пары комплексных корней
(рисунок 1.18).
Рисунок 1.18. – Плоскость корней характеристического уравнения
Задавшись
точностью определения времени
регулирования (
),
можно оценить границу времени переходного
процесса
.
Колебательность
системы (
)
– максимальное из отношений мнимой
части корня
характеристического уравнения к
положительному значению его действительной
части:
.
При увеличении возрастает число колебаний (n) за время переходного процесса и возрастает перерегулирование.
Корневой показатель колебательности (m) – наименьшее отношение положительного значения вещественной части корней к их мнимой части:
.
Чем больше m, тем меньше перерегулирование и время регулирования, тем лучше затухание процесса.
1.14. Взаимосвязь показателей
Прямые, косвенные, корневые показатели качества связаны между собой, хотя в большинстве случаев нет аналитической зависимости между ними, однако есть таблицы и номограммы соответствия.
В таблице 1.2 приведены значения корневого и частотного показателя колебательности, наиболее часто встречающиеся значения степени затухания.
Таблица
1.2. – Соответствие
,
,
Показатель |
Значение |
||||||
степень затухания |
0,65 |
0,7 |
0,75 |
0,8 |
0,85 |
0,9 |
0,95 |
корневой показатель колебательности |
0,1671 |
0,1916 |
0,2206 |
0,256 |
0,3019 |
0,366 |
0,4768 |
частотный показатель колебательности |
3,076 |
2,705 |
2,3768 |
2,08 |
1,8071 |
1,5475 |
1,2871 |
На
рисунках 1.19, 1.20, 1.21 приведены номограммы,
позволяющие по заданному перерегулированию
(
)
найти значение частотного показателя
колебательности (M).
Рисунок
1.19.
– Зависимость
и
от
Рисунок 1.20. – Зависимость L и от .
Рисунок 1.21. – Номограмма зависимости частотного показателя колебательности от запаса по амплитуде (L) и фазе ( )
Если частотный показатель колебательности >1, то замкнутую систему можно аппроксимировать колебательным звеном с передаточной функцией
.
Для этой передаточной функции были найдены зависимости прямых, корневых и косвенных показателей качества (рисунок 1.22).
Рисунок
1.22. – Зависимость прямых и косвенных
показателей качества для колебательного
звена:
- перерегулирование, M
- частотный показатель колебательности;
– степень затухания;
– запас устойчивости по фазе