Непрерывные линейные одноконтурные системы автоматического управления

1. Основные сведения

1. Математическое описание линейных непрерывных систем

Системы, в которых векторы состояния, управления и возмущения изменяются во времени непрерывно, принято считать непрерывными системами. Для их математического описания (динамической модели, динамической системы) используются дифференциальные уравнения. Если дифференциальное уравнение оказывается линейным, то такую непрерывную систему также называют линейной. Коэффициенты линейного дифференциального уравнения могут быть постоянными числами, тогда соответствующую САУ называют стационарной, если коэффициенты линейного уравнения зависят от времени, то систему с таким математическим описанием называют нестационарной (иногда в литературе называют динамической, тогда как в других источниках, динамическая система – это математическая модель реальной системы автоматического управления).

Для изучения поведения линейных непрерывных стационарных систем разработано большое число приемов.

Один из них – замена дифференциальных уравнений операторными уравнениями или уравнениями в изображениях по Лапласу.

Так, если дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы автоматического управления, имеет вид

(1.1)

то операторное уравнение с учетом свойств преобразования Лапласа

и нулевых начальных условий может быть записано как

,

или

. (1.2)

В этом уравнении

X(s) – изображение выходной величины;

U(s) – изображение управляющего воздействия;

F(s) – изображение возмущающего воздействия;

A(s) – собственный оператор системы;

B(s) – оператор воздействия (управления);

C(s) – оператор воздействия (возмущения).

На основе операторного уравнения было введено понятие передаточной функции линейной непрерывной стационарной системы.

Передаточная функция такой системы - это отношение изображения выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях или оператора воздействия к собственному оператору системы

.

Такое определение не мешает построению передаточной функции в системах, имеющих несколько выходных характеристик состояния и входных воздействий.

Линейная система может иметь любое число воздействий, т.к. в ней выполняется принцип суперпозиции, т.е. независимости реакции на одно воздействие от наличия или отсутствия другого воздействия, поэтому дифференциальное (1.1) и операторное уравнение (1.2) могут быть разделены на два равноправных уравнения:

(1.3)

где ,

или в изображении по Лапласу

(1.4)

С учетом этого при наличии одного выхода (x(t)) и двух входов можно построить две передаточные функции, одну по управлению, вторую по возмущению:

(1.5)

Замечание. Индексы передаточной функции записываются в следующем порядке: сначала индекс выходной величины, затем индекс воздействия.

Замечание. Если система имеет несколько выходов, то передаточные функции строятся относительно каждой реакции на каждое входное воздействие, и передаточная функция записывается в виде матрицы, например, если в системе имеется два входа (U₁(s) и U₂(s)) и два выхода (X₁(s) и X₂(s)), то матрица передаточных функций будет иметь вид

. (1.6)

Замечание. Собственный оператор, приравненный к нулю, называется характеристическим уравнением системы: A(s)=0.