2.3. Метод расчета настроек регуляторов при ограничении на корневой показатель колебательности

1. Основные сведения

Корневой показатель колебательности - величина, обратная колебательности и равная наименьшему из всех отношений действительной части комплексных корней к мнимой характеристического уравнения системы.

.

При расчёте систем обычно задаётся затухание колебаний, оно должно находиться в пределах и определяется

,

где и - амплитуды первого и второго периодов переходной характеристики соответственно.

Между колебательностью и затуханием имеется прямое соответствие:

или .

Условие, определяющее существование пары комплексно-сопряжённых корней с заданным корневым показателем колебательности для одноконтурной системы (рисунок 2.8) с единичной обратной связью на основе критерия Найквиста, имеет вид:

где - расширенная амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) регулятора,

- расширенная АФЧХ объекта.

Рисунок 2.8. – Структурная схема одноконтурной системы

Для ПИ-регулятора с передаточной функцией расширенная АФЧХ имеет вид

Для ПИД – регулятора с передаточной функцией расширенная АФЧХ имеет вид

где ,

Т_д – постоянная дифференцирования,

Т_и – постоянная интегрирования,

,

- балластная постоянная.

Из условия существования пары комплексно-сопряжённых корней и на основании свойства равных комплексных чисел

вытекает равенство

Тогда для ПИ-регулятора:

(2.5)

Разрешив систему (2.5) относительно и , получим

(2.6)

Расчёт проводится внутри диапазона частот ;

находят из условия:

, что соответствует ; (2.7)

из условия:

, что соответствует . (2.8)

Чтобы найти и , проводят и сводят в таблицу следующие расчёты (таблица 2.4) для произвольно заданных частот , добиваясь выполнения равенств (2.7) и (2.8).

Таблица 2.4. – Расчёты для определения и

Интервал разбивают на шагов; для каждой частоты рассчитывают по (2.6) значения и и сводят в таблицу (таблица 2.5).

Таблица 2.5. – Значения настроек для разных значений частот

Настройки считаются оптимальными, если отношение максимальное. Полученные настройки должны обеспечить прямые и косвенные показатели качества, поэтому показатели качества рассчитывают при найденных параметрах регуляторов( ).

Для определения прямых показателей качества нужно построить переходную характеристику замкнутой системы, поэтому записывается передаточная функция замкнутой системы ( ):

Находится изображение переходной характеристики ( ):

и, используя обратное преобразование Лапласа, строится переходная характеристика системы ( ):

.

По переходной характеристике вычисляются прямые показатели качества: перерегулирование ; время регулирования и т.д.

По амплитудно-частотной характеристике замкнутой системы определяются косвенные показатели качества.

2.3.2. Пример 2.3. Рассчитать настройки ПИ – регулятора методом расширенных комплексных частотных характеристик (АФЧХ) системы на основе заданного корневого показателя качества ( ), структурная схема приведена выше (рисунок 2.8), передаточная функция объекта имеет вид:

.

Решение

Расширенная АФЧХ (или КЧХ) ПИ - регулятора

.

Обратная величина, расширенной АФЧХ объекта:

Основная система для расчётов

или

т. е.

Тогда расчётные формулы для настроек ( и ) имеют вид:

Выделяем диапазон изменения частот, обеспечивающих оптимальные настройки. Для этого, изменяя частоту от с шагом 0,0001, строим таблицу (таблица 2.6) до тех пор, пока станет несущественной величиной.

Замечание. В таблице приведены не все значения в целях экономии места.

Замечание. В интервале частот, где приближается к , для получения большей точности нужно уменьшить шаг. Для ускорения убывания после прохождения шаг нужно увеличить.

Таблица 2.6. – Значения действительной и мнимой частей обратной

расширенной комплексной частотной характеристики объекта

0,011188317	0,472362666	1,285453028	0,470475808
0,016188317	-0,19618011	1,656571851	0,606305298
0,021188317	-1,01333603	1,902079475	0,696161088
0,026188317	-1,9791051	2,021975898	0,740043179
0,031188317	-3,09348733	2,016261122	0,737951571
0,036188317	-4,3564827	1,884935145	0,689886263
0,041188317	-5,76809123	1,627997969	0,595847256
0,046188317	-7,3283129	1,245449592	0,455834551
0,051188317	-9,03714773	0,737290015	0,269848146
0,056188317	-10,8945957	0,103519239	0,037888041

; .

Интервал [ ; ] разбиваем на 11 подинтервалов :

Для каждой частоты рассчитываем и .

Замечание. Можно считать сначала

, а после определения наибольшего отношения высчитать значения и .

Замечание: После определения приблизительного значения нужно уточнить это значение, построить интервал в окрестности с более мелким шагом. Результаты расчётов сведены в таблицу 2.7.

Таблица 2.7. – Зависимость отношения от частоты

0,011188317	0,016308618
0,016188317	0,030409422
0,021188317	0,045700538
0,026188317	0,060045403
0,031188317	0,071307451
0,036188317	0,072350121
0,041188317	0,076036848
0,046188317	0,065231069
0,051188317	0,042796219
0,056188317	0,006595736
0,061188317	0,045506943

итак, , , .

Для построение переходной характеристики (рисунок 2.9)

,

найдем – передаточную функцию замкнутой системы:

,

,

Рисунок 2.9. – Переходная характеристика системы с ПИ-регулятором

, .

Время регулирования при ; 205 c.

Для улучшения прямых показателей качества уменьшаем до значения 2,7 (рисунок 2.10а).

, 184 c.

Рисунок 2.10.а – Переходная характеристика системы с ПИ-регулятором

Для расчёта настроек ПИД регулятора данный метод оказывается слишком громоздким и сложным.

2.3.3. Последовательность действий при расчете в программе MatLab(на разобранном примере)

Один из вариантов решения

Основное окно программы MatLab.

1)Для дальнейшего решения поставленной задачи: запускаем M-File

(в основном окне MatLaba меню File>New>M-File).

Откроется новое окно M-File, всё решение будем описывать в нём.

2) В M-File заносим программу (код программы ниже)

Строка, начинающаяся на %, - «строка комментария».

Программу запустить нажатием F5 в окне Editor (M-File), либо основное меню окна Debug> Run (F5)

function Reg clc % Значения K, T1 и T2 K = 0.7; T1 = 60; T2 = 40; % Значение корневого показателя колебательности m = 0.366; % Задание передаточной функции объекта W1 = tf([0.7], [40 1]); W2 = tf([1], [60 1]); Wob = W1 * W2; % Выделение коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной % функции [num,den] = tfdata(Wob, 'v'); % Определение максимальной и минимальной частот % Построение таблицы w(частота), Pob, Qob, m*Qob для заданного диапазона частот с заданным шагом BeginFreq = 0.1; % Задание значения начальной частоты диапазона наблюдения EndFreq = 1; % Задание значения конечной частоты диапазона наблюдения StepOfFreq = 0.0001; % Задание шага изменения частоты % Определение непосредственно значений таблицы посредством цикла for Index = 1; % Значение индекса в таблице (эквивалентно номеру строки) for c = BeginFreq: StepOfFreq: EndFreq % Расширение частотной характеристики w = (- m * c + j * c); IntNum = polyval(num, w); IntDen = polyval(den, w); % Помещение в таблицу значения частоты (равно с) Tab(Index, 1) = c; % Выделение реальной части расширенной частотной характеристики объекта при конкретной частоте, равной с; и помещение полученного значения в таблицу Tab(Index, 2) = real(IntDen / IntNum); % Выделение мнимой части расширенной частотной характеристики объекта при конкретной частоте, равной с; и помещение полученного значения в таблицу Tab(Index, 3) = imag(IntDen / IntNum); % Помещение в таблицу значения m*Qob Tab(Index, 4) = m * Tab(Index, 3); % Увеличение индекса Index = Index + 1; end % Вывод получившейся таблицы % Задание формата представления результатов format long % Вывод непосредственно самой таблицы Tab В окне основного окна MatLab – Command Window, выведется таблица. В соответствии с кодом первый столбец будет частота, второй Pоб, третий Qоб, и четвёртый mQоб. По таблице определяем минимальную и максимальную частоту. При необходимости можно задать другие значения начальной(BeginFreq) и конечной(EndFreq) частоты и шаг(StepOfFreq). Найденные минимальную и максимальную частоту заносим в M-File в соответствии MinFreq(минимальную) и MaxFreq(максимальную). % Определение оптимальных настроек регулятора (при которых отношение Kp/Tи максимально) MinFreq = 0.151; % Задание значения минимальной частоты диапазона наблюдения MaxFreq = 0.9803; % Задание значения максимальной частоты диапазона наблюдения StepOfFreq = (MaxFreq - MinFreq) / 14; % Задание шага изменения частоты % Определение непосредственно значений таблицы посредством цикла for Index = 1; % Значение индекса в таблице (эквивалентно номеру строки) for c = MinFreq: StepOfFreq: MaxFreq % Расширение частотной характеристики w = (- m * c + j * c); IntNum = polyval(num, w); IntDen = polyval(den, w); % Выделение реальной части расширенной частотной характеристики объекта при % конкретной частоте, равной с Pob = real(IntDen / IntNum); % Выделение мнимой части расширенной частотной характеристики объекта при % конкретной частоте, равной с Qob = imag(IntDen / IntNum); % Определение значения коэффициента усиления регулятора при % конкретной частоте, равной с K = m * Qob - Pob; % Определение значения постоянной времени интегрирования регулятора при % конкретной частоте, равной с T = (m/(c*(m^2+1)))-(Pob/(Qob*c*(m^2+1))); % Определение значения отношения Kp / Tи при конкретной частоте, равной с KpTiRelation = subs(K / T); % Помещение полученных значений в таблицу Tab(Index, 1) = T; Tab(Index, 2) = K; Tab(Index, 3) = KpTiRelation; % Увеличение индекса Index = Index + 1; end % Вывод получившейся таблицы % Задание формата представления результатов format long % Вывод непосредственно самой таблицы Tab В окне основного окна MatLab – Command Window, выведется таблица с коэффициентами T(первый столбик) и K(второй), и отношение K к Т(третий), частота(четвёртый) Находим коэффициенты Kp и Ti из таблицы и заносим их в M-File. Примечание: Данные таблицы отображаются: В виде 1.0e+004 * 0.00004854621099, то есть все значения таблицы необходимо умножать на 104. % Построение переходной характеристики % Задание передаточной функции регулятора Kp = 0.48546; % Задание коэффициента усиления регулятора при оптимальных настройках Ti = 4.5848; % Задание постоянной времени интегрирования регулятора при оптимальных настройках W1 = tf([Kp], [1]); W2 = tf([Kp], [Ti 0]); Wreg = parallel(W1, W2); % Параллельно согласное соединение, аналогично сложению % Построение передаточной функции разомкнутой системы Wrazomk = Wob * Wreg; % Построение передаточной функции замкнутой системы Wzamk = feedback(Wrazomk, 1); % Построение переходной характеристики step(Wzamk); grid on % Включение сетки В результате MatLab строит переходную характеристику в окне Figure 1 Примечание: для отображения промежуточных результатов в окне Command Window, после строк в коде программы (M-File) необходимо убрать «;»