7. Линейная алгебра, матрицы

1. Матричные8 уравнения

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n:

(1)

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

Ах = b, (2)

где:

(3)

Матрица А называется матрицей системы; вектор-столбец b называется вектором правой части, или правой частью системы. Вектор-столбец х называется решением системы.

Если матрица А невырожденная, то есть det A  0, то система (1), или эквивалентное ей матричное уравнение (2), имеет единственное решение. При det A  0 существует обратная матрица А^-1, при умножении на нее обеих частей уравнения (2) получим:

(4)

Формула (4) дает способ решения уравнения (2). Системы линейных уравнений удобно также решать с помощью функции lsolve. Функция lsolve имеет формат lsolve(А, b) и возвращается вектор решения x такой, что Ах = b, где А - квадратная, невырожденная матрица,b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и палитра кнопок матричных операций показано на рис. 34. Для ввода матриц используется левая верхняя кнопка палитры.

Рис. 34. Решение матричных уравнений

Задания.

7.1.1. Выполнить следующие действия с матрицами, используя операции меню Символ (с. 42).

1) С помощью операции Символы  Матрицы  Транспонирование транспонируйте матрицу М

2) С помощью операции Символы  Матрицы  Инвертирование инвертируйте матрицу

3) С помощью операции Символы  Матрицы  Определитель вычислите определитель матрицы М

7.1.2. Решить систему линейных уравнений (табл. 13), используя обратную матрицу и функцию lsolve, затем сделать проверку.

Таблица 13

№		Система уравнений		№		Система уравнений
1				2
3				4
	5				6
	7				8
	9				10
	11				12
	13				14

Продолжение таблицы 13

15		16
17		18
19		20

3. Найти матрицу А^-1, обратную для матрицы А и решить матричное уравнение АХ = В в следующих задачах:

1)

3)

5)

7)

2)

4)

6)

8)

9)

11)

13)

15)

17)

19)

21)

23)

10)

12)

14)

16)

18)

20)

22)

24) .

7.1.4. Решить системы линейных уравнений (П4) 9.1  10.7 из [4].

7.1.5. В модели экономических процессов Леонтьева решить задачи 16.1-16.6 (с.262-263) из учебника [4], сводящиеся к решению систем линейных уравнений.