6. Дифференциальные уравнения

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе MathCAD существует несколько функций. Рассмотрим подробнее две из них – rkfixed и odesolve.

1. Функция rkfixed

Эта функция записывается в виде rkfixed(y,x1,x2,n,F) и возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями в векторе у. Правые части системы должны быть записаны в символьном векторе F, решение на интервале от x1 до х2 находится за фиксированное число шагов n. В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение Ферхюлста

,

имеющее аналитическое решение

,

называемое логистической кривой и описывающее процессы с насыщением во многих процессах в биологии и экономике [4, 7].

Численное решение дифференциального уравнения Ферхюлста

Начальное условие

Решение

Рис. 28. График решения уравнения Ферхюлста - логистическая кривая

Численное решение систем дифференциального уравнения представляется в виде таблицы (матрицы) из двух столбцов с номерами 0,1,2, в которых размещаются значения t и y. При построении графика у осей координат указываются наименования столбцов или номера строк таблицы n=0..99 соответствующие шагам алгоритма. Построение графиков решений (интегральных кривых) двумя указанными способами выполнено на рис. 28.

Примеры решения системы двух дифференциальных уравнений для экономических задач приведены в [7,8]. Дифференциальные уравнения порядка выше первого должны быть предварительно приведены к системе уравнений первого порядка. Рассмотрим для уравнения, описывающего изменение рыночных цен

,

задачу Коши с начальными условиями

.

Приведем исходное уравнение второго порядка к системе двух уравнений первого порядка с помощью замены

.

Задача Коши примет вид

.

Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений представляется в виде таблицы (матрицы) из трех столбцов с номерами 0,1,2, в которых размещаются значения t, y₀ и y₁. При построении графика у осей координат указываются наименования столбцов: Z^<0>, Z^<1>, Z^<2>, причем символы <0>, <1>, <2> вводятся с помощью палитры Matrix (Матрицы). Номера строк таблицы n=0..99 соответствуют шагам алгоритма.

Начальные условия

_{Правые части системы уравнений}

Численное решение задачи на интервале (0,7) проведено методом Рунге-Кутта

График решения показан на рис. 29. При функция имеет асимптоту и колеблется около нее. Это означает, что цены стремятся к установившемуся значению с колебаниями около него с затухающей амплитудой. Такое поведение соответствует действительным изменениям цен в условиях рыночной экономики.

Рис. 29. Изменение со временем рыночной цены

2. Функция odesolve

В версию системы MathCAD 2000 Professional введена новая функция odesolve, которая возвращает решение на интервале [a, b] задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения порядка n, линейного относительно старшей производной

.

Функция имеет формат odesolve(t,b,[step]), где t – переменная, b – конец отрезка интегрирования, [step] – число шагов на интервале [a, b] (необязательный параметр). Если число шагов не указано, то решение выполняется с автоматическим выбором шага (адаптивно) и время счета может возрасти. Дифференциальное уравнение и начальные условия записываются в вычислительном блоке, начинающемся директивой Given (в переводе с англ. дано, произведено). При их записи используется знак булева равенства = с математической панели (палитры) Boolean (Булевы операторы). Вычислительный блок заканчивается обращением к функции odesolve.

Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения первого порядка

, (1)

с начальным условием и построение графика (рис. 30, а):

Для проверки найденное в документе MathCAD решение продифференцируем и сравним график производной с графиком функции (рис. 30, б). Указанные графики практически совпадают.

Примep решения дифференциального уравнения первого порядка с помощью функции odesolve и вычислительного блока Given

а

б

Рис. 30. Пример использования функции odesolve

Графики интегральных кривых – решений дифференциального уравнения (1) для пяти различных начальных условий построены в следующем документе MathCAD и на рис. 31.

Построение интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка с помощью функции odesolve и вычислительного блока Given

Рис. 31. Построение интегральных кривых с помощью функции odesolve

Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения второго порядка

(2)

с начальными условиями .

Ниже приведен документ MathCAD⁷, график функции (рис. 32 а), а также графики функций и второй производной (найденной по приближенному решению) (рис. 32, б). Из последнего рисунка видно, что графики совпадают всюду, кроме концов интервала, где велика погрешность определения .

Примep решения дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции odesolve и вычислительного блока Given

Проверка решения

а

б

Рис. 32. Пример дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции odesolve

Фазовые траектории решений уравнения (3) с различными начальными условиями построены в следующем документе MathCAD.

Построение фазовых траекторий дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции odesolve и вычислительного блока Given

Рис. 33. Построение фазовых траекторий с помощью функции odesolve

Поскольку результат вычислений производных , в начальной точке равен нулю, то для получения правильного результата использована очень малая добавка eps.

Задания.

6.2.1. Для дифференциальных уравнений первого порядка из табл. 12 построить: а) график решения для указанного начального условия, б) интегральные кривые во всех частях координатной плоскости.

Таблица 12

1. ,	2. , 0.3
3. , 1	4. , 2
5. , 0.5	6. , 0.9
7. , 1	8. , 3
9. ,	10. , 1
11.	12. , 3
13.	14.
15.	16.

6.2.2. Построить интегральные кривые для заданий (П3) 1.1–4.4 из учебника [1].

6.2.3. Построить интегральные кривые и фазовые траектории для дифференциальных уравнений второго порядка для заданий (П3) 5.1-6.10 из [1].