Тема 2 Уравнения Максвелла. Параметры и свойства электромагнитных волн (4/-/-/- часа)

План лекции

1. Закон Кулона

2. Физический смысл уравнений Максвелла

3. Параметры электромагнитных волн

Источниками электромагнитного поля являются токи и заряды. Электрические заряды действуют друг на друга с силой F, определяемой законом Кулона:

где величины зарядов;

абсолютная электрическая проницаемость среды;

расстояние между зарядами.

Сила направлена по прямой, соединяющей заряды. Если величину одного из зарядов принять равной единице (например, ), то получится сила, с которой поле действует на заряд, помещенный в данную точку. Эта сила называется напряженностью электрического поля Е (это касательная к силовой линии в данной точке, измеряется в В/м).

Вектор напряженности зависит от параметров среды, поэтому вводится вектор электрической индукции D (Кл/м²):

Аналогичным образом вводятся векторы напряженности магнитного поля Н (А/м) и вектор магнитной индукции В (Тл или Вб/м²):

где абсолютная магнитная проницаемость среды.

Векторные поля могут быть двух типов – потенциальные (безвихревые) и вихревые (соленоидальные). Силовые линии потенциального поля всегда начинаются и кончаются на источниках, а силовые линии вихревого поля представляют собой замкнутые линии. Электростатическое поле является потенциальным, а переменное электрическое поле представляет собой совокупность потенциального поля электрических зарядов и вихревого поля индукции. Магнитное поле всегда вихревое, так как в природе отсутствуют магнитные заряды. Изменяющееся в некоторой области пространства магнитное поле порождает в той же области электрическое поле, напряженность которого пропорциональна скорости изменения напряженности магнитного поля (описывается вторым уравнением Максвелла). Это уравнение обобщает закон электромагнитной индукции.

По теории Максвелла ЭДС (электродвижущая сила) будет индуктироваться не только в проводящем, но и в любом контуре, охватывающем некоторую поверхность, не содержащую каких-либо проводников. Изменяющееся во времени электрическое поле эквивалентно действию электрического тока, то есть магнитное поле может возникать за счет как тока проводимости, так и тока смещения (ток смещения возникает между пластинами конденсатора и представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов). Математическая запись этого утверждения – это первое уравнение Максвелла – обобщенный закон полного тока.

В системе уравнений Максвелла первое и второе уравнения являются главными. Из третьего и четвертого уравнений этой системы (4 уравнения электродинамики) следует, что в свободном пространстве электрическое поле, полученное в результате изменения магнитного поля, имеет вихревой характер, а магнитное поле всегда вихревое. Это означает, что линии напряженности переменного электрического поля замкнуты и охватывают линии напряженности вызвавшего его переменного магнитного поля.

Уравнения Максвелла позволяют установить условия возникновения и существования переменного электромагнитного поля.

Пусть в некоторой области свободного пространства имеется проводник, в котором под действием энергии генератора ускоренно движутся свободные электроны, создавая переменный ток проводимости. Вблизи проводника возникает переменное электрическое поле, линии напряженности которого начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных, а также возникает переменное магнитное поле с замкнутыми линиями магнитной индукции (рис. 1).

+

+

Н_связ

Н_своб

-

-

-

Е_своб

Е_связ

Рисунок 1 – Образование электромагнитных волн

В непосредственной близости от проводника эти поля связанные, так как они возникают и исчезают вместе с зарядами и током в проводнике. Согласно первому уравнению Максвелла изменение электрического поля приводит к появлению переменного магнитного поля не только вблизи проводника, но и в соседних областях пространства. По второму закону (уравнению) изменяющееся магнитное поле вызывает переменное электрическое поле с замкнутыми линиями напряженности. Это переменное электрическое поле создает ток смещения, который создает новые «вихри» магнитного поля и так далее. Вновь образованные поля уже не связаны с проводником, они являются свободными. Непрерывно изменяясь во времени, они распространяются в свободном пространстве со скоростью света, образуя электромагнитные волны. Таким образом, если существует изменяющееся во времени электромагнитное поле, то возникает электромагнитная волна. Возбуждающее и порождаемое поля всегда взаимно перпендикулярны (векторы Е и Н взаимно перпендикулярны).

Электромагнитная волна – это перемещение в пространстве и во времени электрического и магнитного полей. Поскольку электрическое поле характеризуется напряженностью Е, а магнитное – напряженностью Н, то электромагнитная волна – это изменение напряженностей электрического и магнитного полей в пространстве и во времени.

Скорость распространения. Скорость передачи энергии электромагнитной волной называется групповой скоростью, а скорость перемещения фазы волны – ее фазовой скоростью. Групповая скорость распространения зависит от параметров среды, в которой распространяется волна:

где абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

Ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума;

относительная проницаемость среды;

абсолютная магнитная проницаемость среды;

Гн/м – магнитная проницаемость вакуума;

относительная магнитная проницаемость среды.

Для вакуума групповая и фазовая скорости равны друг другу:

м/с,

где скорость света в вакууме.

Для произвольной среды:

Ниже приведены относительная магнитная проницаемость (табл. 1) и относительная диэлектрическая проницаемость (табл. 2) в различных средах на разных частотах.

Таблица 1

Вещество	Μ	Вещество	Μ
Воздух	1,00000038	Медь	0,99999044
Кислород	1,00000191	Стекло	0,999987
Вода	0,99999095	Алюминий	1,0000222

Таблица 2

Вещество	Частота, Гц	Ε	Вещество	Частота, Гц	Ε
Воздух	0…3*1010	1,000536	Полиэтилен	106…109	2,3
Вода	0	81,1	Слюда	103…108	7
Стекло свинцовое	103…106	6,9	Титанат бария	106	1200
Вода	109	80	Лед	103…106	70
Вода	2,4*1010	35	Парафин	106…109	2,2

Частота и период волны. Для гармонических электромагнитных волн изменение Е и Н происходит по гармоническому закону, то есть в гармонической электромагнитной волне закон изменения напряженностей электрического и магнитного полей определяется функцией типа где - угол или фаза волны (рис. 2).

x

z

H

E

0 y

Рисунок 2 – Электромагнитная волна в пространстве

Величины напряженностей Е и Н будут повторяться через промежуток времени Т (период), за который фаза изменится на 2π. Чем короче период, тем быстрее изменяется фаза. Скорость изменения напряженностей Е и Н во времени называется циклической частотой f (Гц):

Если Гц, то за 1 секунду фаза изменится на 2π. Для произвольного f в течение секунды фаза изменится на ( угловая частота, рад/с).

Длина электромагнитной волны λ – это расстояние, на котором фаза волнового процесса изменяется в пространстве на 2π:

Волновое число. Величина k, характеризующая скорость изменения процесса в пространстве, называется волновым числом:

В направляющих системах волновое число называют коэффициентом фазы и обозначают β (единица измерения – м^-1). Фазовая скорость определяется как

Вектор Пойнтинга. Существование электромагнитной волны возможно лишь тогда, когда векторы напряженностей Е и Н взаимно перпендикулярны. Волновой процесс описывается функциями:

Направление, в котором перемещается электромагнитная волна, зависит от взаимной ориентации векторов Е и Н и определяется правилом буравчика. Если буравчик расположить в направлении, перпендикулярном векторам Е и Н, и вращать его от Е к Н по кратчайшему пути, то направление перемещения буравчика укажет направление перемещения электромагнитной волны. Правило буравчика выражает операцию с векторами (векторное произведение двух векторов равно по величине произведению длин векторов на синус угла между векторами). Полученный третий вектор – это вектор Пойнтинга (Вт/м²):

Направление вектора указывает направление распространения энергии, а величина его равна плотности потока мощности.

Поляризация волн. Явления на границе раздела сред. Направления всех трех векторов электромагнитной волны жестко связаны. Достаточно задать направления двух из них, а для третьего направление будет определено. Термин «поляризация волны» связан с ориентацией вектора Е в пространстве (например, относительно поверхности Земли). Если вектор Е в течение периода колебаний в данной точке пространства остается параллельным самому себе, то поляризацию называют линейной. Различают вертикально поляризованную волну (вектор Е и плоскость поляризации перпендикулярна поверхности Земли) и горизонтально поляризованную волну (вектор Е расположен параллельно Земле). Если конец вектора Е описывает в пространстве эллипс или окружность, то поляризацию называют эллиптической или круговой.

В случае падения волны на границу раздела двух сред, происходит отражение и преломление волн. Коэффициенты отражения и преломления зависят как от угла падения и параметров сред, так и от ориентации вектора Е относительно границы раздела сред (рис. 3).

Луч падающей волны Луч отраженной волны

Среда с ε₁μ₁

φ_п φ_о

Среда с ε₂μ₂

Луч преломленной волны

Рисунок 3 – Падение электромагнитной волны на границу раздела сред

Возможны две ориентации вектора Е относительно плоскости падения:

- вектор Е перпендикулярен плоскости падения – это поперечная (вертикальная) поляризация;

- вектор Е лежит в плоскости падения – параллельная (горизонтальная) поляризация.

В случае произвольной ориентации Е относительно плоскости падения можно разложить вектор Е на два ортогональных – поперечную и параллельную составляющие.

Явления, происходящие на границе раздела сред, определяются двумя законами Снеллиуса и коэффициентами Френеля. Первый закон гласит, что угол падения равен углу отражения:

Второй закон Снеллиуса: отношение синуса угла преломления к синусу угла падения равно обратному отношению показателей преломления соответствующих сред:

где показатели преломления первой и второй сред. Показателем преломления называется величина Для большинства сред поэтому

Коэффициенты Френеля, связывающие между собой амплитуды падающей, отраженной и преломленной волн, зависят от вида поляризации и волнового сопротивления среды. Волновое сопротивление определяет для заданной среды соотношение амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей волны и имеет активный характер:

Для свободного пространства (вакуума, воздуха):

Ом.

Коэффициенты Френеля зависят от поляризации. При поперечной поляризации:

При параллельной поляризации:

где коэффициент отражения;

коэффициент преломления;

волновые сопротивления сред;

угол падения;

угол преломления.

Амплитуды отраженной и преломленной волн вычисляются умножением амплитуды падающей волны ( или ) на соответствующий коэффициент.

Рекомендуемая литература [1,2,3,4,12,13,18 ]