Основные схемы логически правильных рассуждений
Приведем примеры наиболее употребимых схем логически правильных рассуждений (некоторые их них приведем без пояснений) (табл. 62):
Таблица 62
№ |
|
|
|
1 |
Правило заключения – утверждающий модус (Modus Ponens, удаления импликации) |
Если из высказывания А следует высказывание В и справедливо (истинно) высказывание А, то справедливо В |
|
2 |
Правило отрицания – отрицательный модус (Modus Tollens) |
Если из А следует В, но высказывание В неверно, то неверно А |
|
3 |
Правила утверждения-отрицания (Modus Ponendo-Tollens) |
Если справедливо или высказывание А, или высказывание В (в разделительном смысле) и истинно одно из них, то другое ложно |
|
4 |
Правила отрицания-утверждения (Modus Tollen-Ponens) |
Если истинно или А, или В (в разделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое |
|
Если истинно А или В (в неразделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое (правило удаления дизьюнкции) |
|
||
5 |
Правило транзитивности |
Если из А следует В, а из В следует С, то из А следует С |
|
6 |
Закон противоречия |
Если
из А следует В и
|
|
7 |
Правило контрапозиции |
Если из А следует В, то из того, что неверно В, следует, что неверно А |
|
8 |
Правило сложной контрапозиции |
Если
из А и В следует С, то из А и
|
|
9 |
Правило сечения |
Если из А следует В, а из В и С следует D, то из А и С следует D |
|
10 |
Правило импортации (объединения посылок) |
|
|
11 |
Правило экспортации (разъединения посылок) |
|
|
12 |
Правила дилемм |
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
13 |
Правило введения конъюнкции |
|
|
14 |
Правило удаления конъюнкции |
|
|
15 |
Правило введения дизъюнкции |
|
|
16 |
Правило введения эквиваленции
|
|
|
17 |
Правило удаления эквиваленции |
|
|
,
то неверно А
следует
Пример.
Следующие рассуждения не являются правильными:
.
Метод Вонга
Пусть дана клауза в своей наиболее общей форме:
В1, В2, …, Вn А1, А2, …,An
Шаг 1. Снятие отрицаний с посылок и заключений. С этой целью нужно опустить знак отрицаний у Ai и Bj и перенести их в противоположные стороны относительно символа .
Шаг 2. Если слева от символа встречается конъюнкция, а справа дизъюнкция, то их следует заменить на запятые.
Шаг 3. Если после предыдущих шагов оказалось, что связкой, расположенной слева от , является дизъюнкция, а справа – конъюнкция, то образуются две новые клаузы, каждая из которых содержит одну из двух подформул, заменяющих исходную клаузу.
Шаг 4. Если одна и та же буква находится с обеих сторон символа, то такая строка считается доказанной. Исходная клауза является теоремой, если все ветви оканчиваются истинными клаузами. В противном случае переходим к шагу 3.
Пример.
Выяснить, является ли клауза теоремой:
.
Решение.
Шаг 1. .
Избавляемся
от отрицаний. В результате получаем:
.
Шаг 2. Поскольку слева от символа не встречается конъюнкция, а справа не встречается дизъюнкция, то шаг 2 как таковой отсутствует.
Ш
аг
3.
Построим дерево доказательств (рис.
11):
Так как есть не доказанные строки, то исходная клауза теоремой не является.