Контактные схемы
Язык алгебры высказываний |
Язык алгебры контактных схем |
И |
Замкнутый контакт |
Л |
Разомкнутый контакт |
ØА |
Инверсия контакта |
A Ù B |
Последовательное соединение контактов
|
A Ú B |
Параллельное соединение контактов
|
Пример
Построить контактную схему принятия решения о пропуске в следующий тур участника соревнований тремя судьями. Главный судья обязательно должен быть «за»
А (главный) |
В |
С |
f |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
СДНФ: AÙBÙC Ú AÙBÙØC Ú AÙØBÙC
AÙBÙC Ú AÙBÙØC Ú AÙØBÙC º AÙ(B Ú C)
Двоичный сумматор (соединение одноразрядных сумматоров)
A,B,C – входы, P,S – выходы
А |
В |
С |
P |
S |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
СДНФ для P: ØAÙBÙC Ú AÙØBÙC Ú AÙBÙØC Ú AÙBÙC
P º AÙB Ú AÙC Ú BÙC
СДНФ для S: ØAÙ Ø BÙC Ú Ø AÙBÙ Ø C Ú AÙ Ø BÙØC Ú AÙBÙC
S º AÙB ÙC Ú ØP Ù (AÚB Ú C)
Утверждение. Каждой формуле логики высказываний соответствует некоторая булева функция.
Исчисление высказываний
Таблицы истинности позволяют ответить на многие вопросы, касающиеся формул логики высказываний, например на вопрос о тождественной истинности формулы или на вопрос о равносильности двух формул. Однако более сложные вопросы логики высказываний уже не могут быть решены с помощью таблиц истинности.
Наряду с алфавитом и правилами построения сложных высказываний – логических формул, языки логики высказываний содержат правила преобразования логических формул. Правила преобразования реализуют общелогические законы и обеспечивают логически правильные рассуждения. Корректность допустимых в логике преобразований является фундаментальным свойством формальной (математической) логики.
Если описание системы (процесса, явления и т.п.) представлено совокупностью сложных высказываний – логических формул, истинных для данной системы (в данной интерпретации ее простых высказываний), то с помощью допустимых преобразований имеющихся логических представлений о системе может быть выполнен их анализ (синтез), могут быть получены новые представления, характеризующие указанную систему (истинные для данной системы) и т.п. Таким образом, с помощью допустимых в логике преобразований появляется возможность получения новых знаний из имеющихся.
Определение. Процесс получения новых знаний, выраженных высказываниями, из других знаний, также выраженных высказываниями, называется рассуждением (умозаключением). Исходные высказывания называются посылками (гипотезами, условиями), а получаемые высказывания – заключением (следствием).
Логика – это наука о способах доказательства.
В логике высказываний все доказательства строятся на отношении порядка, т.е. на отношении, которое существует между причиной и следствием. Отдельные звенья цепи связаны символом импликации «» при логическом выводе мы будем заменять на символ «», подобно тому, как используются два символа эквивалентности «» и «=». Во избежании путаницы вместо конъюнкции «» будем использовать символ запятой «,», а вместо дизъюнкции «» - символ точка с запятой «;». Тогда утверждение, которое требуется доказать, в логике высказываний оформляется в виде следующего причинно-следственного отношения:
P1, P2, …, Pn-1, Pn C,
или
,
где Pi – посылка, С – заключение. Условимся формальную запись такого рода называть клаузой. Смысловой текст, отвечающий некоторой конкретной клаузе, будем называть её легендой.
Пример.
Для данной легенды построить соответствующую клаузу:
« Если фирма приглашает на работу крупного специалиста в области новейшей технологии, то она считает ее привлекательной и разворачивает работы по изменению технологии производства своего традиционного продукта или начинает разработку нового продукта. Конкурирующая фирма пригласила на работу крупного специалиста в области новейшей технологии. Следовательно, она разворачивает работы по изменению технологии производства выпускаемого продукта или разработке нового продукта».
Решение.
Выделим простые высказывания и введем обозначения:
А – «фирма приглашает на работу крупного специалиста в области новейшей технологии»;
B – «фирма считает данную новейшую технологию привлекательной»;
С – «фирма разворачивает работу по изменению технологии производства своего традиционного продукта»;
D - «фирма начинает разработку нового продукта».
С учетом принятых обозначений умозаключение примет вид:
«Если А, то В и (С или D). А. Следовательно, С или D.»
Используя логические связки, получим окончательно:
((А(В(СD)))A)(CD).
Используя равносильности логики высказываний получаем:
Если клауза верна, то она является некоторой логической теоремой. В логике высказываний существует несколько способов доказательств теорем. В логике высказываний существуют аксиоматический и конструктивный подходы доказательств логических выражений. Рассмотренные ниже метод Вонга и метод резолюций относится к смешанной стратегии доказательств.
Рассуждение
называется правильным, если из истинности
всех посылок следует истинность
заключения. Пусть высказывания
—
посылки, а высказывание
—
заключение. Рассуждение проводится по
схеме
,
т.е. из предположений
следует
заключение
.
Это рассуждение является правильным,
если формула
тождественно-истинная,
т.е. истинна для любых истинностных
значений входящих в нее высказываний
.