Формулы логики высказываний

Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами данного алфавита. Словом в данном алфавите называется произвольная конечная последовательность символов (возможно пустая).

Алфавит логики высказываний содержит следующие символы:

• высказывательные переменные;

• логические символы;

• символы скобок.

Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:

1. любая высказывательная переменная – формула;

2. если А и В – формулы, то  А, А  В, А В, А В, А В, А В, А  В, А  В – формулы;

3. только те слова являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).

Подформулой формулы А называется любая ее часть, которая сама является формулой.

Примеры

1) «Завтра будет снег или дождь».

Высказывание состоит из двух простых, соединенных связкой «или»:

а – «завтра будет снег»;

b – «завтра будет дождь».

Логическая формула имеет вид: аb.

2) «Сегодня понедельник или вторник» состоит из двух простых:

а – «сегодня понедельник»;

b – «сегодня вторник».

Т.к. одновременное выполнение условий не допускается, то данное высказывание представимо логической формулой: a  b.

Формула называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение 1 (0).

Формула называется тождественно-истинной, или тавтологией (тождественно-ложной или противоречием), если эта формула принимает значение 1 (0) при всех наборах значений переменных.

Только И	Хотя бы одна И и хотя бы одна Л	Только Л
общезначимая	нейтральная	невыполнимая
общезначимая	необщезначимая
выполнимая		невыполнимая

Две формулы равносильны, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулу переменных. Равносильность формул обозначается A  B.

Рассмотрим основные равносильности логики высказываний.

1. Идемпотентность
А  А = А	А  А = А
2. Коммутативность
А  В = В  А	А  В = В  А
3. Ассоциативность
А  (В  С) = (А  В)  С	А  (В  С) = (А  В)  С
4. Правила поглощения
А  (А  В) = А	А  (А  В) = А
5. Дистрибутивность
А  (В  С) = (А  В)  (А  С)	А  (В  С) = (А  В)  (А  С)
6. Правила де Моргана
7. Свойства констант
А  1 = А А  0 = 0	А  0 = А А  1 = 1
8. Закон исключения третьего и закон противоречия
9. Снятие двойного отрицания
10. Формулы расщепления (склеивания)
11. Связь дизъюнкции, конъюнкции, отрицания и импликации
12. Выражение эквивалентности

Любая из этих равносильностей легко может быть доказана с помощью таблицы истинности.

Пример.

Рассмотрим правило поглощения А  (А  В) = А.

А	В	АВ	А(АВ)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	1
1	1	1	1

Результирующий столбец и столбец А совпадают на все наборах. Значит формулы равносильны.

Часто для доказательства равносильностей формул используют приведенные выше равносильности.

Пример

Утверждение. Каждой формуле логики высказываний соответствует некоторая булева функция.

Применение математической логики.

Анализ высказываний

Алгебра логики применяется для:

• решения логических задач;

• решения задач анализа и синтеза контактных и электронных схем.

Суть применения методов алгебры логики к решению логических задач состоит в том, что условия логической задачи необходимо записать в виде формулы логики. В дальнейшем путем равносильных преобразований упрощают полученную формулу. Простейший вид формулы, как правило, приводит к ответу на все вопросы задачи.

Пример

Определить, Был ли Смит убийцей, если известно следующее:

Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет.

Составим элементарные высказывания:

А – Джонс не встречал Смит этой ночью.

В – Смит был убийца.

С – Джонс лжет.

D – убийство было совершено после полуночи.

Тогда сложные высказывания можно записать на языке алгебры логики в следующем виде:

Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. -

Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. -

Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. -

Вся картина преступления может быть представлена в виде формулы:

Упростим полученную формулу с помощью равносильных преобразований:

Ответ трактуется так: Либо Смит был убийцей, либо убийство совершено после полуночи Джонс лжет, что видел Смита этой ночью. Последнее сложное высказывание ( ) по сути также определяет вину Смита, как и прямое утверждение, что Смит был убийцей ( ). Таким образом приговор Смиту вынесен.