Элементы математической логики
Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно в данный момент времени.
Пример
1. Курица – птица. – высказывание
2. Пейте томатный сок. – не высказывание.
В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Истинностные значения – истина и ложь – будем обозначать И и Л соответственно. Множество {И, Л} называется множеством истинностных значений.
Высказывание называют простым (элементарным), если оно рассматривается как неделимое целое (аналогично элементу множества). Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.
Логические операции
Рассмотрим логические операции (связки) над высказываниями.
Отрицанием высказывания называется новое высказывание, истинное только тогда, когда исходное высказывание ложно.
Отрицание определяется следующей таблицей истинности.
№ набора |
a |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Отрицание
обозначается через
и читается как «не а»,
«неверно, что а».
Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
№ набора |
a |
b |
ab |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
Конъюнкция
обозначается
или
a&b
или
или ab
и читается как «a
и b»,
«a,
но b»,
«a,
а b».
Дизъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое ложно только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
№ набора |
a |
b |
ab |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция
обозначается через
или
и читается как «a
или b».
Импликацией двух высказываний называется новое высказывание, которое ложно только тогда, когда первое истинно, а второе – ложно.
№ набора |
a |
b |
ab |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
Импликация обозначается a b или ab и читается как «если a, то b»; « из а следует b». При этом a называется посылкой (условием), b – следствием (заключением).
Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний является новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
№ набора |
a |
b |
ab |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
Эквивалентность обозначается a b или a b и читается как «a эквивалентно b»; а тогда и только тогда, когда b.
Приоритет операций:
Ø, Ù, Ú, ®, ~
Область действия логической связки определяется частью формулы, ограниченной скобками, между которыми находится данная связка.
Введем в рассмотрение еще три операции: сумма по модулю два (), штрих Шеффера (), стрелка Пирса (). Для них таблица истинности имеет следующий вид:
№ набора |
a |
b |
ab |
ab |
ab |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |