§ 6.2. Скорости точек твердого тела при плоскопараллельном движении

Скорость любой точки М тела при его плоском (плоскопараллельном) движении геометрически складывается из скорости полюса и скорости точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса :

.

Это утверждение базируется на независимости параметров и (рис. 6.3).

Рис. 6.5

Имеем:

– скорость полюса,

– скорость точки М, которую она получает при вращении тела вокруг неподвижного полюса А, причем , .

Итак,

(6.3)

Направление скорости можно найти геометрически построением соответствующего параллелограмма (рис. 6.5).

Пример 6.1. Колесо радиусом R катится без скольжения по линейному рельсу. Центр С колеса движется согласно уравнению . Вычислить скорости точек Р, М, К, N расположенных на ободе колеса, как показано на рис. 6.6.

Решение. Колесо движется плоскопараллельно. Получим уравнения движения колеса. Имеем (рис. 6.6, а):

.

За полюс выберем точку . Вычислим скорость полюса и угловую скорость вращения колеса вокруг полюса. Имеем

Рис. 6.6

Применим к точкам Р, К, N, М, лежащих на ободе колеса теорему о скоростях при плоском движении, рис. 6.7.

Рис. 6.7

1. Точка Р: ;

здесь ,

Так как векторы и лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, имеем (рис. 6.8, а):

.

2. Точка К: ,

здесь , .

Так как векторы и лежат на одной прямой и направлены в одну сторону, имеем (рис. 6.8, а)

3. Точка М:

здесь , .

Так как векторы , имеем (рис. 6.8, а)

.

Направление находим по правилу сложения векторов.

б

Рис. 6.8

4. Точка N:

здесь , .

Так как векторы , имеем (рис. 6.8, а)

.

Направление находим по правилу сложения векторов.

Отметим, что перпендикуляры, проведенные к скоростям в точках К, N, М, пересекутся в точке , скорость которой равно нулю (рис. 6.8,б).

§ 6.3. Мгновенный центр скоростей

Во многих практических задачах скорость полюса задана или ее можно вычислить. Угловая скорость вращения тела вокруг полюса часто часто неопределенна.

Теорема. В каждый момент времени при плоском движении тела, если , имеется единственная точка в плоскости его движения скорость которой равна нулю. Эту точку называют точкой мгновенного центра скоростей (МЦС). Обозначим ее Р.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно указать способ вычисления точки МЦС. Пусть тело (П) движется плоскопараллельно. Предположим, что скорость полюса равна , а угловая скорость вращения тела вокруг полюса равна  (рис. 6.9). Предположим, что вращение тела вокруг полюса происходит, например, по часовой стрелке. Допустим, что мгновенный центр скоростей (точка Р) существует. Следует ожидать, что она находится на прямой, перпендикулярной вектору скорости . Используем теорему о скоростях (6.3) для вычисления скорости в точке Р, рис. 6.10, получаем:

Рис. 6.9

.

Поскольку , то скорость точки Р будет равна нулю, если модули этих скоростей равны между собой.

Следовательно, , но , откуда , тогда

.

Таким образом, точка МЦС находится на перпендикуляре к вектору скорости на расстоянии .

Рис. 6.10

Точка МЦС является единственной точкой для тела в данный момент времени. В другой момент времени точка МЦС находится уже в другой точке плоскости. Поскольку угловая скорость фигуры не зависит от выбора полюса, поэтому угловая скорость твердого тела в ее вращении вокруг точки МЦС (точка Р) равна угловой скорости , с которой твердое тело вращается вокруг полюса О.

Если положение точки МЦС и известны, то, приняв точку МЦС за новый полюс ( ), для любых точек тела (П) , например точек А и В (рис. 6.10), скорости можно вычислить следующим образом:

,

Из полученных выражений для V_А и V_В имеем

. (6.4)

Если положение точки МЦС известно, то скорости точек тела вычисляют так же, как и в случае вращения тела в плоскости вокруг мгновенно неподвижной точки Р с угловой скоростью .

Следствие из теоремы о скоростях при плоском движении. Проверим справедливость общей теоремы кинематики. На рис. 6.11 построены векторы и , которые составляют углы  и  соответственно с прямой АВ. Точка МЦС находится в точке Р.

Рис. 6.11

Опустим перпендикуляр из точки Р на прямую АВ и обозначим его через h. Тогда

.

Согласно (6.3), вычислим скорости в точках А и В через угловую скорость :

.

Вычислим длины отрезков A'A и B'B (рис. 6.11):

.

Последние равенства еще раз доказывают справедливость общей теоремы кинематики.

Следствие. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка.

Исходя из теоремы о скоростях при плоскопараллельном движении, имеем (рис. 6.12):

,

.

Рис. 6.12

Тогда и и, следовательно,

.

Т.к. и как противоположные стороны параллелограммов, то

.

Это соотношение показывает, что - отрезок прямой. Из подобия и имеем

, или и ,

т.е. расстояния между концами скоростей пропорциональны расстояниям между соответствующими точками.