§ 1.5. Радиус–вектор

Положение точки А на траектории в пространстве удобно характеризовать радиус–вектором. Для построения радиус-вектора выберем неподвижную точку в евклидовом пространстве. Проведем через неподвижную точку произвольно ось . Если каждому значению скалярного аргумента t поставить в соответствие вектор (расстояние между точкой на траектории и полюсом О фиксируется модулем , направление прямой фиксируется углом ) то функция будет называться радиус–вектором скалярного аргумента (рис. 15, а). Если начало вектора (рад

Рис. 1.15

иус-вектора) находится в точке О, то конец радиус-вектора опишет пространственную кривую, которую называют годографом (записыватель пути) векторной функции (рис. 15, а). Если t означает время, то фиксирует положение материальной точки в пространстве в любой момент времени, т.е. характеризует движение материальной точки, а годограф радиус-вектора соответствует траектории движения точки.

Пусть точка движется в плоскости . Совместим с точкой начало плоской декартовой системы, а ось с осью (рис. 1.15, б). В плоской декартовой системе координат радиус–вектор раскладывается по базисным векторам , так (рис. 1.15, б)

,

причем компоненты являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.

Рис. 1.16

Радиус–вектор можно разложить по базисным векторам , , прямоугольной пространственной системы координат, то (рис.1.16) , причем компоненты являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.

§ 1.6. Основы математического анализа

Дифференцирование функций. Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна

.

Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости : это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть

Эта и другие задачи приводят к понятию производной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и существует конечный предел отношения при . Тогда этот предел называется производной функции в точке

.

П

Рис. 1.17

роизводная функции может также обозначаться одним из следующих способов:

Геометрический смысл производной. Если изображена своим графиком – кривой в декартовых координатах (рис. 1.17), то . где – угол между осью и касательной к кривой в данной точке , отчитываемый от положительного направления оси против часовой стрелке. В механике производную по времени t часто обозначают точкой над функцией: .

Если приращение функции f(x₀+Δx)–f(x₀) обозначить как Δy, то определение можно записать так:

.

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть

Поэтому пишут:

.

Геометрически дифференциал функции – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx (рис. 1.17).

Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.

Таблица производных:

1		7		13
2		8		14
3		9		15
4		10		16

Продолжение таблицы производных

5		11		17
6		12		18

Интегрирование функций. Первообразной функцией (или просто первообразной) для данной функции одной переменной , определенной в некоторой области , называется такая функция , определенная в той же области, производная от которой равна .

Геометрический смысл первообразной. Если данная функция изображена кривой в декартовых координатах, то первообразная численно равна площади , ограниченной кривой , осью и двумя ординатами: постоянной АВ (при ) и переменной (при абсциссе ). Произвольно выбирая постоянную «а», получаем различные первообразные. При этом площадь понимается в алгебраическом смысле (рис. 1.18): площадь фигуры

А

Рис. 1.18

ВСD = .

Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.

Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.