§ 1.3. Элементы тригонометрии

Рис. 1.7

Рассмотрим круг единичного радиуса (рис. 1.7). Длина окружности круга единичного радиуса равна , откуда

Градусная и радианная мера:

рад. рад.;

1 рад. _.

Таблица значений тригонометрических функций в смысле главного значения, т.е. в первом квадранте (рис. 1.7).

радиан 0 градус 0 0 0,5 1 1 0,5 0

Основное тригонометрическое тождество: . Функции двойного угла: Формулы приведения: ; ; ; ;

Графики тригонометрических функций

При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция представляется графиком (рис. 1.8). Эта кривая называется синусоидой.

Рис. 1.8

График функции представлен на рис. 1.9; это кривая называется также синусоида, полученная в результате перемещения графика вдоль оси влево на /2.

Рис. 1.9

Характеристики и свойства тригонометрических функций:

– область определения: ; область значений: ;

– функции периодические, их период равен 2 ;

– функции ограниченные ( ), всюду непрерывные.

§ 1.4. Векторы

Основные понятия. Многие физические величины характеризуются одним параметром – модулем. Например, известно расстояние, которое прошел студент (допустим, он прошел 17 км) – при этом все равно, в каком направлении он гулял, но известна температура воздуха в день его прогулки, например, . Такие величины, как расстояние между точками и температура, называют скалярными величинами. Бывают обстоятельства, когда необходимо знать и модуль, и направление физической величины. Например, если пункт А находится в 5 ( км ) к северо-востоку от пункта В, то недостаточно направить студента, указав расстояние в 5 (км) для того, чтобы он достиг пункт В. Необходимо задать направление движения. Комбинация модуля и направления физической величины называется векторной величиной, или просто вектором.

Важность понимания различий между векторными и скалярными величинами состоит в том, что для этих величин разные правила сложения, вычитания и умножения. Для скалярных величин эти правила прописаны в алгебре, для векторных величин – в векторной алгебре. Например, полное расстояние между пунктами А и В (по траектории движения ) вычисляется алгебраическим сложением (рис. 1.10, а):

а

Рис. 1.10

полное перемещение вычисляется расстоянием между пунктами А и В, которое равно

.

Вектор обозначается буквой с чертой (или стрелкой) над ней – ( ) и изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна модулю представляемой вектором физической величины (рис. 1.10, б). Вектор характеризуется точкой приложения (точка А), модулем и линией действия – прямой, вдоль которой направлен вектор. Вектор, модуль которого , называется единичным вектором. Если направление единичного вектора совпадает с направлением вектора, единичный вектор называется ортом. Орты, направленные по осям , декартовой системы координат, обозначаются , – единичные орты (рис. 1.11).

П

Рис. 1.11

роекция вектора на ось. Изобразим вектор (рис. 11). Опустим перпендикуляры из начала А и конца В вектора на оси , , получим отрезки , , называемые проекциями вектора на оси _, .

^{Каждый вектор может быть единственным образом разложен на сумму векторов, параллельных единичным ортам плоской системы:}

. (а)

Скаляры , называются координатами вектора в системе и обозначается это так

. (б)

Записи (а) и (б) равносильны.

Координаты вектора , , и модуль вычисляются по формулам:

,

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительным направлениями оси и направлением вектора (рис. 1.12):

Рис. 1.12

.

Линейные комбинации векторов. Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов и , приведенных к общему началу, есть третий вектор , длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах и , а направлен вектор от точки A к точке B (рис. 1.13):

.

Рис. 1.13

Модуль вектора вычисляется по формуле Силовой многоугольник. Суммируют несколько векторов построением векторного многоугольника. Слагаемые векторы путем параллельного переноса последовательно при-

страивают один за другим так, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего, тогда вектор, замыкающий полученный многоугольник является суммой заданных слагаемых, причём его начало совпадает с началом первого из слагаемых векторов, а конец – с концом последнего (рис. 1.14, а). Разность двух векторов. Разностью векторов называется векторов (диагональ BD) такой, что сумма векторов (рис. 1.14, б):

.

а	б
в	г
Рис. 1.14

Скалярное умножение векторов. Скалярным умножением векторов и (обозначается ) называется скаляр, определяемый равенством

,

где угол – угол между векторами и , приведенных к общему началу (рис. 14, в).

Если заданы векторы , то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

.

Векторное умножение векторов. Векторным произведением векторов и (обозначается ) называется вектор , длина которого равна (т.е. площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах) и который направлен перпендикулярно плоскости расположения векторов и (рис. 1.14. г) Если векторы , , заданы декартовыми прямоугольными координатами: , , , то векторное произведение вычисляется по формуле

В механике разделяют три типа векторов: свободный, скользящий и связанный.

Свободными векторами представляются физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной точки пространства к любой другой. Такие векторы характеризуют физические величины во всем исследуемом пространстве.

Скользящие векторы представляют собой векторные физические величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора. Они изменяются при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия.

Закрепленные векторы представляют собой векторные физические величины только в данной точке пространства. В других точках пространства они либо имеют другое значение, либо вообще теряют смысл.