§ 5.3. Абсолютное ускорение точки

Вычислим абсолютное ускорение точки . Для этого возьмем полную производную по времени от абсолютной скорости (5.7):

(5.9)

Здесь – ускорение полюса подвижной системы координат, – вектор угловой переносной скорости, вектор углового переносного ускорения.

Вычислим полные производные по времени от векторов и (используя полученные ранее выражения (5.4, а) и (5.5)):

;

(5.10)

Подставляя (5.10) в (5.9), получим

. (5.11)

В формуле (5.11) подчеркнутые слагаемые характеризуют движение подвижной системы координат, т.е. составляют переносное ускорение

, (5.12)

здесь, согласно формулам Эйлера,

, .

Напомним, что переносное ускорение точки – это ускорение точки жестко скрепленной с подвижной системой координат и не имеющей в рассматриваемый момент времени относительного движения.

Второе слагаемое в (5.11) – , соответствует ускорению относительного движения.

Оставшиеся не подчеркнутые слагаемые в (5.11) определяют ускорение, которое принято называть ускорением Кориолиса, обозначим это ускорение , Тогда

. (5.13)

Учитывая все замечания, выражение (5.11) перепишется

. (5.14)

Полученное выражение определяет теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса.

Примечание

Для выяснения физической сущности ускорения Кориолиса рассмотрим движение в плоскости вращения. Нас будет интересовать движение точки с постоянной относительной скоростью вдоль радиуса стержня (рис. 5.4).

Рис. 5.4

На рисунке указаны положения точки и в два момента времени, разделенных промежутком t, в течении которого радиус повернется на угол t. Относительная скорость – скорость вдоль радиуса изменяется за это время только по направлению, а переносная скорость , перпендикулярная радиусу, изменяется как по направлению, так и по модулю , для положения точек и соответственно.

Модуль полного изменения абсолютной скорости, перпендикулярной радиусу (направлению ), равен

где учтено, что для , .

Изменение скорости характеризуется ускорением, следовательно, ускорение Кориолиса согласно определению ускорения, по модулю равно:

Получили, что изменение модуля абсолютной скорости характеризуется ускорением

Ускорение Кориолиса обусловлено различным значением переносной скорости в разных точках подвижной системы координат. Иначе говоря, ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияния двух движений – переносного и относительного.

§ 5.4. Способы вычисления , и ускорений

Относительное ускорение . Движение подвижных осей во внимание не принимается, наблюдатель находится внутри подвижной системы координат .

Вычисление зависит от способа задания относительного движения ():

– координатный способ задания относительного движения точки М

.

– естественный способ задания относительного движения. Приводим оси естественного трехгранника к движущейся точки , тогда

,

здесь – радиус кривизны относительной траектории в точке М.

Вектор относительного ускорения расположен в соприкасающейся плоскости относительного движения.

Переносное ускорение . Точка жестко связана с телом ( ) и движется вместе с ним относительно неподвижной системы координат . Наблюдатель находится внутри неподвижной системы координат.

1. Подвижная система координат движется поступательно – , , тогда переносное ускорение точки М, согласно (5.12)

Переносное ускорение совпадает с ускорением подвижной системы координат.

2. Подвижная система координат вращается относительно неподвижной оси с угловой скоростью и угловым ускорением . В этом случае =0, тогда из (5.12), переносное ускорение точки М, согласно (5.12)

Если точка в переносном движении движется по окружности радиуса , то

Векторы ускорений расположены в соприкасающейся плоскости переносного движения, т.е. в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Ускорения Кориолиса . Ускорение Кориолиса вычисляется по формуле: , здесь . Модуль ускорения Кориолиса равен

з

Рис. 5.5

десь угол , угол между вектором относительной скорости и вектором угловой скорости переносного вращения .

Для вычисления направления , удобно пользоваться правилом Жуковского. Пусть имеем точку М, движущуюся с относительной скоростью (рис. 5.5). Построим плоскость (П), перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращения . Спроецируем на плоскость (П). Проекцию обозначим . Она является скаляром и равна

,

тогда

. (5.12)

Правило Жуковского: чтобы получить направление ускорения Кориолиса , следует проекцию вектора относительной скорости повернуть на 90 вокруг оси, параллельной оси переносного вращения , в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса.

Ускорение Кориолиса равно нулю, если:

1.  – переносное движение является поступательным;

2. – в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;

3. – когда ║ .