
§ 5. Сложное движение точки
Содержание. Основные понятия – абсолютное, относительное и переносное движения. Теорема о сложении скоростей. Сложение скоростей точки в общем случае переносного движения. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Примеры.
§ 5.1 Основные понятия
Рис.5.1
движется
по плоскому телу (S).
Свяжем с телом систему координат Охуz.
Пусть само тело (S)
движется относительно некоторой системы
координат
,
которую по отношению к наблюдателю
будем считать неподвижной (рис.
5.1). Тогда система отсчета Охуz
будет двигаться относительно
неподвижной системы
.
Рассмотрим
движение точки
по отношению к двум системам координат
– подвижной
и неподвижной.
Движение точки М
относительно подвижной системы отсчета
Охуz
называется
относительным.
Относительное движение точки может
быть прямолинейным или криволинейным.
Характеристики этого движения –
траектория, скорость, ускорение называются
относительными. Их отмечают индексом
r:
для относительной скорости –
и
для относительного для ускорения –
.
Движение
точки М относительно неподвижной системы
отсчета О1х1у1z1
называется абсолютным
или сложным.
Траектория, скорость и ускорение точки,
относительно неподвижной системы
координат называются абсолютными.
Скорость и ускорение абсолютного
движения отмечают буквами
и
без
индексов.
Переносным
движением
точки М
называют движение, которое она совершает
вместе с подвижной системой отсчета
как точка, жестко скрепленная с телом
(S)
в рассматриваемый момент времени.
Вследствие относительного движения
движущаяся точка М
в различные моменты времени совпадает
с различными точками тела (S).
Переносная скорость и переносное
ускорение точки совпадают со скоростью
и ускорением той точки тела (S),
в которой в заданный момент времени
находится движущаяся точка М.
Переносное движение отмечают индексом
е:
для скорости –
,
для ускорения –
.
§ 5.2. Абсолютная скорость точки
Пусть
заданы уравнения относительного движения
точки
,
т.е. заданы уравнения движения точки
относительно системы координат Охуz,
а также
заданы уравнения движения полюса
тела (S)
и задано
вращение тела вокруг оси
.
Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей:
Рис. 5.2
. (5.1)
Доказательство.
Пусть точка М
движется по телу (S)
относительно подвижной системы координат
.
Предположим, что центр подвижной системы
координат О
движется криволинейно относительно
неподвижной системы отсчета О1х1у1z1,
а оси координат Охуz
вращаются вместе с телом (S)
вокруг оси
с угловой скоростью
(рис. 5.2).
Абсолютное
движение точки
,
т.е. движение точки относительно
неподвижной системы координат О1х1у1z1,
зададим радиус–вектором
,
а относительное движения точки М,
т.е. движение
точки относительно подвижной системы
координат
определим
радиус – вектором
.
Тогда
,
(5.2)
здесь:
–
,
– координаты точки М
относительно
неподвижной системы координат
О1х1у1z1;
единичные
орты неподвижной системы координат;
–
,
– координаты полюса О
относительно неподвижной системы
координат
О1х1у1z1;
–
,
x,
y,
z
– координаты
точки М
относительно подвижной системы координат
Оxyz,
– единичные орты подвижной системы
координат.
Абсолютная
скорость по определению равна
.
Продифференцируем по времени векторное
равенство (5.2):
.
Вычислим
:
,
(5.3)
здесь:
– проекции вектора скорости полюса О
–
на
оси неподвижной системы координат.
Вычислим
(отметим,
что единичные орты подвижной системы
координат
–
функции времени):
(5.4)
Здесь
проекции скорости точки М
относительно подвижной системы координат,
т.е. проекции относительной скорости
точки М
.
Производные
по времени единичных векторов вычислим
по формуле Эйлера (
):
(5.5)
Перепишем (5.4) с учетом (5.5)
(5.5’)
итак,
.
(5.6)
Таким образом, складывая (5.3) и (5.6), получим
(5.7)
Первое
и третье слагаемы в (5.7) определяют
движение подвижной системы координат,
т.е. определяют скорость
переносного движения
точки М
–
.
Следовательно, выражение (5.7) будет иметь
структуру формулы (5.1), т.е.
.
Здесь:
скорость
относительного движения.
Скорость переносного движения выражается формулой
(5.8)
Рассмотрим частные случаи вычисления переносной скорости.
Подвижная система координат вместе с телом
движется поступательно со скоростью
. В этом случае
=0 и, следовательно, согласно (5.8)
.
Переносная скорость совпадает со скоростью тела .Тогда абсолютна скорость
Подвижная система координат вместе с телом вращается вокруг неподвижной оси c угловой скоростью
. В этом случае
, тогда переносная скорость, согласно (5.8)
Переносная скорость не совпадает со скоростью тела .Тогда абсолютна скорость
П
Рис. 5.3
вокруг
неподвижного центра
с
угловой скоростью
.
Точка М
скользит вдоль стержня со скоростью
.
Вычислить абсолютную скорость точки
(рис.
5.3).
Решение.
Точка
участвует
в двух движениях: движется вдоль стержня
и, кроме того, вращается вместе со
стержнем. Свяжем подвижную систему
координат
с центром
(рис. 5.3). Движение точки
вдоль стержня (по оси
)
будет относительным т.е.
.За
время
точка пройдет по оси
путь
,
равный
Для
вычисления переносной скорости
,
жестко скрепим точку со стержнем на
расстоянии
от центра вращения
.
Приведем оси естественного трехгранника
к точку
.
Тогда в переносном движении точка
будет
двигаться по окружности радиусом
со скоростью, равной
.
Вектор
и
направлен по оси
.
Так
как векторы
и
ортогональны, абсолютная скорость точки
будет
равна
.
Вычислим
угол между
и осью
:
,
,
.
Пусть
,
,
.
Тогда
;
,
.
,
,
.
Ответ. Абсолютная скорость точки равна
,
.